Compunerea funcțiilor

O singură funcție nu poate face prea multe. De aceea, funcțiile se pot compune.

Motivație

Să luăm două funcții. De exemplu, o funcție care ne calculează câți kilometri parcurgem cu un litru de benzină. Să zicem că mașina noastră parcurge 10 kilometri cu un litru de benzină. Notăm această funcție cu f și o definim ca f(x) = 10x, unde parametrul x reprezintă câți litri de benzină avem. Deci dacă avem în rezervor șase litri de benzină, mașina mai poate parcurge f(6) = 10 · 6 = 60 de kilometri.

A doua funcție ne poate calcula câți litri de benzină cumpărăm pentru un anumit număr de lei. Să zicem că un litru de benzină costă 6 lei. Atunci funcția, pe care o notăm g, ar arăta așa: g(x) = x / 6, unde x reprezintă cu câți lei vrem să cumpărăm benzină. Dacă avem 30 de lei, am cumpăra g(30) = 30 / 6 = 5 litri de benzină.

Acum ne-am putea întreba: câți kilometri vom putea parcurge dacă ne alimentăm cu benzină de 150 de lei?

Avem deja funcții care calculează fiecare câte un lucru parțial — numărul de kilometri parcurși în funcție de litri și numărul de litri de benzină cumpărați în funcție de bani. Acum ar trebui să compunem cele două funcții.

Cum rezolvăm

Am putea rezolva așa: mai întâi calculăm câți litri de benzină am cumpăra, iar apoi câți kilometri am parcurge. Să încercăm. Cu 150 de lei am cumpăra g(150) = 150 / 6 = 25 de litri de benzină. Iar cu 25 de litri de benzină am parcurge f(25) = 10 · 25 = 250 de kilometri.

Putem rezolva însă și altfel, prin compunerea funcțiilor. Putem defini o nouă funcție h, care primește la intrare suma de bani, iar la ieșire ne returnează numărul de kilometri parcurși. Funcția h o definim cu ajutorul funcțiilor f și g astfel:

$$h(x)=f(g(x))$$

O funcție h definită astfel face, de fapt, ceea ce am calculat în primul paragraf. Ne spune că, atunci când primim valoarea x, adică suma de bani, trebuie să calculăm mai întâi valoarea g(x), adică numărul de litri pe care îi cumpărăm cu ea. Această valoare rezultată g(x), în cazul nostru g(150) = 25, trebuie apoi introdusă în funcția f, deci mai calculăm f(25) = 250.

Putem obține și o scriere directă a funcției h. Luăm funcția f și înlocuim toate aparițiile parametrului x cu funcția g. Funcția f arată așa: f(x) = 10x, iar în locul parametrului x punem funcția x / 6. Obținem astfel funcția h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{6}\right)$$

Simplificăm:

$$h(x)=\frac{5x}{3}$$

Acum am compus funcțiile f și g într-o nouă funcție h, care ne calculează câți kilometri parcurgem cu benzină în valoare de x lei. Putem verifica introducând în funcție aceiași 150 de lei de mai înainte:

$$h(150)=\frac{5\cdot 150}{3}=250.$$

Rezultatul coincide cu calculul nostru anterior.

Compunerea unor funcții mai complicate

Fie funcțiile f și g definite astfel:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Încercăm acum să compunem funcțiile astfel: f(g(x)). Luăm deci funcția f și, în locul tuturor aparițiilor parametrului x, punem, de preferat între paranteze, funcția g:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Dacă am compune funcțiile invers, am obține:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Pentru compunerea funcțiilor se folosește simbolul cerculeț: f ∘ g. Problema este că uneori această scriere înseamnă compunerea în sensul f(g(x)), iar alteori în sensul g(f(x)). Notația este aici puțin ambiguă, așa că uită-te întotdeauna la ce se înțelege în cazul respectiv.