Fonksiyonun Seyri: Monotonluk

Bir fonksiyonun seyrini incelerken, diğer şeylerin yanı sıra fonksiyonun hangi aralıklarda artan ya da azalan olduğunu da buluruz. Bunun için fonksiyonun türevi çok işe yarar.

Monotonluk Nasıl Belirlenir

Bir noktadaki teğetin eğimi, yani fonksiyonun o noktadaki türevi, fonksiyon hakkında göründüğünden daha fazla şey söyler. Önce şu şekle bak:

Şunu fark edebiliriz: fonksiyon verilen noktada azalan ise o noktadaki teğet de azalandır (daha doğrusu, o teğeti ifade eden fonksiyon azalandır). Bu, b teğetinde görülür. x² + 1 fonksiyonu B noktasında azalandır ve b teğeti de azalandır. Buna karşılık a teğeti artandır ve x² + 1 fonksiyonunun A noktasında artan olduğunu görüyoruz. Üçüncü teğet c, x eksenine paraleldir ve bu noktada bir ekstremum olduğunu görüyoruz, daha açık söylersek minimum.

Bunlar bir bakışta görülebilen şeylerdir, ama yine de biraz daha kesinleştirmek gerekir. Artan ve azalan fonksiyonla başlayalım. Fonksiyonun bir noktadaki teğeti artansa fonksiyon da o noktada artandır. Teğet ne zaman artandır? Teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı (0, 90) derece aralığındaysa teğet artandır. Teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı (90, 180) derece aralığındaysa teğet azalandır. Şu şekle bak:

α açısı kesinlikle 90 dereceden küçüktür ve teğet artandır. β açısı 90 dereceden büyüktür ve teğet azalmaktadır. Bu açık olmalı. Şimdi tanjanta dönelim. Tanjantın nasıl hesaplandığını tekrar etmemiz gerekiyor. Bunun için birim çembere ihtiyacımız var. İstediğimiz açıları birim çember üzerine yerleştiririz ve birim çember bize birtakım kurallara göre trigonometrik fonksiyonların değerlerini verir. Tanjantın değeri, açının kolunun, x eksenine (1, 0) noktasında çizilen dik doğruyla kesişim noktasının y koordinatı olarak görünür. Şekil şöyle:

Şekilde mavi birim çemberi ve iki doğruyu görüyoruz: kırmızı a doğrusu ve yeşil b doğrusu. Bu doğrular x ekseninin pozitif yönüyle α ve β açılarını oluşturur. Bu açıların tanjantını şekilden kolayca okuyabiliriz: x eksenine (1, 0) noktasında p dik doğrusunu çizeriz. Bu, gri doğrudur. α açısının tanjantı, kırmızı a doğrusunun gri p doğrusuyla kesişim noktasının y koordinatına (ordinatına) eşittir. Başka bir deyişle: α açısının tanjantı, |BP| doğru parçasının uzunluğuna eşittir.

Aynısı b doğrusu ve β açısı için geçerlidir. β açısının tanjantı, b doğrusunun p doğrusuyla kesişim noktasının y koordinatına eşittir. Yani CP doğru parçasının uzunluğunun negatifine.

Gördüğün gibi tan(α) pozitif, tan(β) ise negatif olacaktır. Aradığımız da buydu. Şekilden görüldüğü gibi, açı (0, 90) aralığındaysa, ki α açısı öyledir, bu açının tanjantı pozitiftir; (90, 180) aralığındaysa, ki β açısı öyledir, negatiftir.

Şimdi teğetin verilen noktada x ekseninin pozitif yönüyle hangi açıyı yaptığını nasıl kolayca buluruz? Türevler yardımıyla. Fonksiyonun türevi bize verilen noktadaki teğetin eğimini verir ve teğetin eğimi tam olarak teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantıdır. Başka bir deyişle, verilen noktada fonksiyonun birinci türevi pozitifse fonksiyon artandır. Negatifse azalandır.

f′(x) > 0 ise f fonksiyonu x noktasında artandır. f′(x) < 0 ise f fonksiyonu x noktasında azalandır.

Örnek: yine f(x) = x² fonksiyonundan yararlanalım. Bu fonksiyonun türevinin f′(x) = 2x fonksiyonu olduğunu biliyoruz. 2x < 0 olan tüm noktalarda fonksiyon azalandır, 2x > 0 olan tüm noktalarda artandır. Bunlar basit eşitsizlikler, bu yüzden azalan için (−∞, 0), artan için (0, ∞) aralıkları çıkar.