Drøfting av funksjon: monotoni

Når vi drøfter en funksjon, finner vi blant annet ut i hvilke intervaller funksjonen er strengt voksende eller strengt avtagende. Til det har vi god hjelp av den deriverte til funksjonen.

Hvordan finne monotoniegenskapene til en funksjon

Stigningstallet til tangenten i et punkt, altså den deriverte til funksjonen i punktet, sier oss mer om funksjonen enn man skulle tro. Se først på denne figuren:

Hva kan vi legge merke til? Hvis funksjonen er avtagende i et gitt punkt, synker også tangenten i dette punktet (nærmere bestemt synker funksjonen som beskriver tangenten). Det ser vi for tangenten b. Funksjonen x² + 1 er avtagende i punktet B, og tangenten b er også avtagende. Tangenten a er derimot voksende, og vi ser at også funksjonen x² + 1 er voksende i punktet A. Den tredje tangenten c er parallell med x-aksen, og vi ser at det er et ekstremalpunkt på dette stedet, nærmere bestemt et minimum.

Dette er ting som kan sees med en gang, men det trenger en presisering. Vi begynner med voksende og avtagende funksjoner. Hvis tangenten til funksjonen i et punkt er voksende, er også funksjonen voksende i dette punktet. Når er tangenten voksende? Tangenten er voksende hvis vinkelen den danner med den positive delen av x-aksen ligger mellom 0° og 90°. Tangenten er avtagende hvis vinkelen den danner med den positive delen av x-aksen ligger mellom 90° og 180°. Se på denne figuren:

Vinkelen α er helt sikkert mindre enn 90°, og tangenten er voksende. Vinkelen β er større enn 90°, og tangenten synker. Det bør være tydelig. Nå tilbake til tangens. Vi må repetere hvordan tangens regnes ut. Til det trenger vi enhetssirkelen. På enhetssirkelen setter vi av vinklene vi vil ha, og enhetssirkelen gir oss etter noen regler verdiene til de trigonometriske funksjonene. Verdien av tangens vises som y-koordinaten til skjæringspunktet mellom vinkelbenet og normalen på x-aksen i punktet (1, 0). Figuren kommer her:

På figuren har vi den blå enhetssirkelen og to linjer, den røde linjen a og den grønne b. Disse linjene danner vinklene α og β med den positive delen av x-aksen. Fra figuren kan vi enkelt lese av tangens til disse vinklene: vi tegner normalen p på x-aksen i punktet (1, 0). Det er den grå linjen. Tangens til vinkelen α er da lik y-koordinaten til skjæringspunktet mellom den røde linjen a og den grå linjen p. Med andre ord: tangens til vinkelen α er lik lengden av linjestykket |BP|.

Det samme for linjen b og vinkelen β. Tangens til vinkelen β er lik y-koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen b og linjen p. Eller den negative lengden av linjestykket CP.

Som du ser, er tan(α) positiv, mens tan(β) er negativ. Og det var det vi lette etter. Som vi ser på figuren, er tangens til vinkelen positiv hvis vinkelen ligger i intervallet ⟨0, 90⟩, som vinkelen α gjør, og negativ hvis den ligger i intervallet ⟨90, 180⟩, som vinkelen β gjør.

Hvordan kan vi nå enkelt finne ut hvilken vinkel tangenten i et gitt punkt danner med den positive delen av x-aksen? Ved hjelp av den deriverte. Den deriverte til en funksjon gir oss stigningstallet til tangenten i det gitte punktet, og stigningstallet til tangenten er nettopp tangens til vinkelen som tangenten danner med den positive delen av x-aksen. Med andre ord: hvis den førstederiverte til funksjonen er positiv i et gitt punkt, er funksjonen voksende. Hvis den er negativ, er den avtagende.

Hvis f′(x) > 0, er funksjonen f strengt voksende i punktet x. Hvis f′(x) < 0, er funksjonen f strengt avtagende i punktet x.

Eksempel: vi tar igjen funksjonen f(x) = x² til hjelp. Vi vet at den deriverte til denne funksjonen er funksjonen f′(x) = 2x. For alle punkter der 2x < 0 er funksjonen avtagende, og for alle 2x > 0 er funksjonen voksende. Det er enkle ulikheter, så vi får intervallene ⟨ ← , 0⟩ for avtagende og ⟨0, → ⟩ for voksende.