Functieonderzoek: monotonie

Bij het onderzoeken van het verloop van een functie bepalen we onder meer ook op welke intervallen de functie stijgend of dalend is. Daarvoor is de afgeleide van de functie erg handig.

Hoe bepaal je de monotonie van een functie

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt, dus de afgeleide van de functie in een punt, vertelt ons meer over de functie dan je zou denken. Bekijk eerst het volgende plaatje:

Wat we nu kunnen opmerken — als de functie in een gegeven punt dalend is, dan daalt ook de raaklijn in dit punt (preciezer: de functie die de gegeven raaklijn zou beschrijven daalt). Dat zie je bij de raaklijn b. De functie x² + 1 is in het punt B dalend en ook de raaklijn b is dalend. De raaklijn a is daarentegen stijgend en we zien dat ook de functie x² + 1 in het punt A stijgend is. De derde raaklijn c is evenwijdig aan de x-as en we zien dat er op die plek een extreem zit — namelijk een minimum.

Dit zijn dingen die je op het eerste gezicht kunt zien, maar die we nog wat preciezer moeten maken. We beginnen met stijgende en dalende functies. Als de raaklijn aan een functie in een punt stijgend is, dan is ook de functie in dit punt stijgend. Wanneer is een raaklijn stijgend? Een raaklijn is stijgend als de hoek die ze maakt met de positieve x-as in het interval ⟨0, 90⟩ graden ligt. Een raaklijn is dalend als de hoek die ze maakt met de positieve x-as in het interval ⟨90, 180⟩ graden ligt. Bekijk het volgende plaatje:

De hoek α is zeker kleiner dan 90 graden en de raaklijn is stijgend. De hoek β is groter dan 90 graden en de raaklijn daalt. Dat zou duidelijk moeten zijn. Nu terug naar de tangens. We moeten herhalen hoe de tangens wordt berekend. Daarvoor hebben we de eenheidscirkel nodig. Op de eenheidscirkel zetten we onze gewenste hoeken uit en de eenheidscirkel geeft ons volgens bepaalde regels de waarden van goniometrische functies terug. De waarde van de tangens wordt weergegeven als de y-coördinaat van het snijpunt van het been van de hoek met de loodlijn op de x-as in het punt (1, 0). Het plaatje volgt:

In het plaatje hebben we de blauwe eenheidscirkel en twee lijnen, de rode lijn a en de groene b. Deze lijnen maken met de positieve x-as de hoeken α en β. Uit het plaatje kunnen we gemakkelijk de tangens van deze hoeken aflezen: we trekken de loodlijn p op de x-as in het punt (1, 0). Dat is de grijze lijn. De tangens van de hoek α is dan gelijk aan de y-coördinaat van het snijpunt van de rode lijn a met de grijze lijn p. Anders gezegd: de tangens van de hoek α is gelijk aan de lengte van het lijnstuk |BP|.

Hetzelfde voor de lijn b en de hoek β. De tangens van de hoek β is gelijk aan de y-coördinaat van het snijpunt van de lijn b met de lijn p. Oftewel aan de negatieve lengte van het lijnstuk CP.

Zoals je ziet, is tan(α) positief, terwijl tan(β) negatief is. En dat is wat we zochten. Zoals uit het plaatje blijkt, is de tangens van een hoek positief als de hoek in het interval ⟨0, 90⟩ ligt, zoals de hoek α, en negatief als de hoek in het interval ⟨90, 180⟩ ligt, zoals de hoek β.

Hoe zouden we nu eenvoudig kunnen bepalen welke hoek de raaklijn in een gegeven punt maakt met de positieve x-as? Met afgeleiden. De afgeleide van een functie geeft ons de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het gegeven punt en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is juist de tangens van de hoek die de raaklijn maakt met de positieve x-as. Met andere woorden: als de eerste afgeleide van de functie in een gegeven punt positief is, dan is de functie stijgend. Als ze negatief is, dan is ze dalend.

Als f′(x) > 0, dan is de functie f in het punt x strikt stijgend. Als f′(x) < 0, dan is de functie f in het punt x strikt dalend.

Voorbeeld: we nemen opnieuw de functie f(x) = x² te hulp. We weten dat de afgeleide van deze functie de functie f′(x) = 2x is. Voor alle punten waarvoor geldt 2x < 0 is de functie dalend en voor alle 2x > 0 is de functie stijgend. Het zijn eenvoudige ongelijkheden, dus we krijgen de intervallen ⟨ ← , 0⟩ voor dalend en ⟨0, → ⟩ voor stijgend.