Μελέτη συνάρτησης: μονοτονία

Όταν μελετάμε μια συνάρτηση, εξετάζουμε μεταξύ άλλων και σε ποια διαστήματα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Σε αυτό μας βοηθά πολύ η παράγωγος της συνάρτησης.

Πώς να βρεις τη μονοτονία μιας συνάρτησης

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης σε ένα σημείο, δηλαδή η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο, μας λέει για τη συνάρτηση περισσότερα απ' όσα φαίνεται. Κοίταξε πρώτα την επόμενη εικόνα:

Τι μπορούμε να παρατηρήσουμε – αν η συνάρτηση είναι σε ένα σημείο γνησίως φθίνουσα, τότε κατεβαίνει και η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο (ακριβέστερα φθίνει η συνάρτηση που θα περιέγραφε την εφαπτομένη). Αυτό φαίνεται στην εφαπτομένη b. Η συνάρτηση x² + 1 είναι στο σημείο B γνησίως φθίνουσα και η εφαπτομένη b επίσης κατεβαίνει. Αντίθετα, η εφαπτομένη a ανεβαίνει και βλέπουμε ότι και η συνάρτηση x² + 1 είναι στο σημείο A γνησίως αύξουσα. Η τρίτη εφαπτομένη c είναι παράλληλη προς τον άξονα x'x και βλέπουμε ότι σε αυτό το σημείο υπάρχει ακρότατο – συγκεκριμένα ελάχιστο.

Αυτά φαίνονται με την πρώτη ματιά, αλλά χρειάζονται μεγαλύτερη ακρίβεια. Ξεκινάμε με τη γνησίως αύξουσα και τη γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Αν η εφαπτομένη μιας συνάρτησης σε ένα σημείο ανεβαίνει, τότε και η συνάρτηση σε αυτό το σημείο είναι γνησίως αύξουσα. Πότε ανεβαίνει η εφαπτομένη; Η εφαπτομένη ανεβαίνει, αν η γωνία που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα Ox ανήκει στο διάστημα (0, 90) μοιρών. Η εφαπτομένη κατεβαίνει, αν η γωνία που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα Ox ανήκει στο διάστημα (90, 180) μοιρών. Δες την επόμενη εικόνα:

Η γωνία α είναι σίγουρα μικρότερη από 90 μοίρες και η εφαπτομένη ανεβαίνει. Η γωνία β είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες και η εφαπτομένη κατεβαίνει. Αυτό πρέπει να είναι σαφές. Τώρα πίσω στην εφαπτομένη γωνίας. Πρέπει να θυμηθούμε πώς υπολογίζεται η εφαπτομένη. Για αυτό χρειαζόμαστε τον τριγωνομετρικό κύκλο. Πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο σχεδιάζουμε τις γωνίες που θέλουμε και ο τριγωνομετρικός κύκλος μάς δίνει, με κάποιους κανόνες, τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Η τιμή της εφαπτομένης εμφανίζεται ως η συντεταγμένη y του σημείου τομής της πλευράς της γωνίας με την κάθετη στον άξονα x'x στο σημείο (1, 0). Η εικόνα ακολουθεί:

Στην εικόνα έχουμε τον μπλε τριγωνομετρικό κύκλο και δύο ευθείες, την κόκκινη ευθεία a και την πράσινη b. Οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον θετικό ημιάξονα Ox τις γωνίες α και β. Από την εικόνα διαβάζουμε εύκολα την εφαπτομένη αυτών των γωνιών: φέρνουμε την κάθετη p στον άξονα x'x στο σημείο (1, 0). Είναι η γκρι ευθεία. Η εφαπτομένη της γωνίας α είναι τότε ίση με τη συντεταγμένη y του σημείου τομής της κόκκινης ευθείας a με τη γκρι ευθεία p. Με άλλα λόγια: η εφαπτομένη της γωνίας α είναι ίση με το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος |BP|.

Το ίδιο ισχύει για την ευθεία b και τη γωνία β. Η εφαπτομένη της γωνίας β είναι ίση με τη συντεταγμένη y του σημείου τομής της ευθείας b με την ευθεία p. Δηλαδή με το αντίθετο του μήκους του ευθύγραμμου τμήματος CP.

Όπως βλέπεις, το εφ(α) θα είναι θετικό, ενώ το εφ(β) είναι αρνητικό. Και αυτό ακριβώς ψάχναμε. Όπως φαίνεται στην εικόνα, αν η γωνία ανήκει στο διάστημα (0, 90), όπως η γωνία α, τότε η εφαπτομένη της γωνίας είναι θετική, ενώ αν ανήκει στο διάστημα (90, 180), όπως η γωνία β, είναι αρνητική.

Πώς θα βρούμε τώρα απλά ποια γωνία σχηματίζει η εφαπτομένη σε ένα σημείο με τον θετικό ημιάξονα Ox; Με τις παραγώγους. Η παράγωγος της συνάρτησης μάς δίνει τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης στο συγκεκριμένο σημείο και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι ακριβώς η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον θετικό ημιάξονα Ox. Με άλλα λόγια, αν σε ένα σημείο η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Αν είναι αρνητική, τότε είναι γνησίως φθίνουσα.

Αν f′(x) > 0, τότε η συνάρτηση f είναι στο σημείο x γνησίως αύξουσα. Αν f′(x) < 0, τότε η συνάρτηση f είναι στο σημείο x γνησίως φθίνουσα.

Παράδειγμα: ας πάρουμε πάλι τη συνάρτηση f(x) = x². Ξέρουμε ότι η παράγωγός της είναι η συνάρτηση f′(x) = 2x. Για όλα τα σημεία για τα οποία ισχύει 2x < 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και για όλα τα 2x > 0 είναι γνησίως αύξουσα. Είναι απλές ανισώσεις, οπότε προκύπτουν τα διαστήματα (−∞, 0) για τη γνησίως φθίνουσα και (0, +∞) για τη γνησίως αύξουσα.