Fonksiyonun Seyri: Dışbükeylik ve İçbükeylik

Bir fonksiyonun dışbükeyliği ve içbükeyliği, fonksiyonun bir tür bükeyliğini ifade eder. Dışbükey bir fonksiyonun içbükeye ya da tersine döndüğü noktalara büküm noktası denir.

Dışbükey ve İçbükey Fonksiyon Nedir

Bir fonksiyonun dışbükey mi içbükey mi olduğu grafikten çoğu zaman ilk bakışta anlaşılır. Dışbükey (konveks) fonksiyonun grafiği bir “çukur” gibi, içbükey (konkav) fonksiyonunki ise bir tepe gibi görünür. Dışbükey bir fonksiyonun içine çay doldurabileceğin de söylenir. Aşağıda daha önce tanıdığımız fonksiyonlardan üç örnek var.

Bir Fonksiyonun Dışbükey mi İçbükey mi Olduğu Nasıl Anlaşılır

Şimdi bir fonksiyonun verilen aralıkta dışbükey mi içbükey mi olduğunu nasıl bulacağımıza gelmemiz gerekiyor. Bunun için bir şekle daha ihtiyacımız olacak:

İkinci dereceden fonksiyon tüm tanım kümesinde dışbükeydir. Şekilde çizdiğim tüm teğetlere bakınca neyi fark ediyorsun? Her teğet için, teğetin değdiği tek nokta hariç, ikinci dereceden fonksiyonun tüm noktaları bu teğetin üstündedir. İşareti değiştirilmiş −x² fonksiyonu için de benzer bir şekil çizebiliriz; orada durum tersidir ve tüm noktalar teğetin altında olur:

Açıklamaya devam etmeden önce şu şekli incele:

Gösterilen f(x) = x² fonksiyonu dışbükeydir. Dışbükey bir fonksiyonda grafiğin tüm noktalarının teğetin üstünde olduğunu zaten biliyoruz. Burada da bu sağlanıyor: t teğeti var ve grafiğin noktaları bu teğetin üstünde. Şimdi mesele, bu noktaların teğetin üstünde olduğunu hesapla nasıl göstereceğimiz.

x₀ noktası verilmiş olsun ve (x₀, f(x₀)) noktasında grafiğe bir teğet, yani t doğrusu çizelim. Şekilde (x₀, f(x₀)) koordinatlı nokta kırmızı T noktasıyla gösterilmiştir. Sonra x ekseni üzerinde başka bir x noktası seçelim. Şekilde bu yeşil noktadır. x için (x, f(x)) noktasının, şekilde yeşil F noktasının, t teğetinin üstünde olması gerekir. x² fonksiyonu tüm tanım kümesinde dışbükey olduğundan, tanım kümesinden hangi x elemanını alırsak alalım, (x, f(x)) noktası teğetin üstünde olmalıdır.

Bunu bir formülle nasıl yazarız? Şekilde t teğeti var. Grafiği tam olarak t teğeti olan doğrusal bir t(x) fonksiyonu düşünelim. Örneğin x₀ noktasındaki fonksiyon değeri, yani t(x₀), t(x₀) = f(x₀) olur, çünkü bu noktada iki fonksiyon birbirine eşittir (grafiklerinin bu noktada ortak bir noktası vardır).

Artık bunu formüllerle ifade edebiliriz. Bir fonksiyonun grafiğinin başka bir fonksiyonun grafiğinin üstünde olduğunu nasıl yazarız? Basitçe f(x) > t(x) diyerek. Şekle bakınca: x noktasında teğet grafiğin altındadır, çünkü f(x) > t(x).

f fonksiyonunu bildiğimiz için f(x₀) ve f(x) değerlerini de biliriz. Dolayısıyla f(x) > t(x) olup olmadığını anlamak için mor AB doğru parçasının uzunluğunu bulmamız yeterlidir. Peki bunu nasıl buluruz? TA doğru parçasının uzunluğunu biliyoruz, o |x − x₀| değeridir. Ama TB doğru parçasının uzunluğunu maalesef bilmiyoruz. Yine de fonksiyonun x₀ noktasındaki türevini hesaplarsak teğetin eğimini, yani teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantını buluruz; bu açının ölçüsü ATB açısının ölçüsüyle aynıdır, bunlar yöndeş açılardır.

Artık TA doğru parçasının uzunluğunu ve ATB açısının ölçüsünü biliyoruz. Tanjantın karşı dik kenarın komşu dik kenara oranını verdiğini hatırlayalım, yani şu geçerlidir:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

$\tan (\sphericalangle ATB)$ ve |TA| değerlerini biliyoruz, |AB| değerini hesaplamak istiyoruz. Bunun için |AB| ifadesini yalnız bırakalım:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Denklemi önce |TA| uzunluğu yerine |x − x₀| yazarak düzenleriz:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

$\tan (\sphericalangle ATB)$ yerine de f fonksiyonunun x₀ noktasındaki türevini, yani f′(x₀) değerini yazarız:

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Böylece AB doğru parçasının uzunluğunu hesaplamış olduk. Şekilde x > x₀ ve türev pozitiftir, ama genel olarak doğru işareti elde etmek için |x − x₀| yerine (x − x₀) yazarız. Şöyle yazabiliriz: f fonksiyonu, x₀ noktasının bir O delinmiş komşuluğu varsa ve bu O komşuluğundaki her x için şu bağıntı sağlanıyorsa x₀ noktasında dışbükeydir:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Eşitsizliğin sağ tarafının tamamı aslında t(x) değerine eşittir. Şekle bakarsan, f(x₀) değerine AB doğru parçasının uzunluğunu eklediğinde tam olarak t(x) değerini elde edersin.

Büküm Noktaları Nasıl Bulunur

Türetmeden söyleyelim: f(x) fonksiyonu, f′′(x₀)>0 ise x₀ noktasında dışbükey, f′′(x₀)<0 ise içbükeydir. Sözle ifade edersek, ikinci türev bir noktada pozitifse fonksiyon o noktada dışbükeydir (grafiğin çukurluğu yukarı doğrudur); ikinci türev negatifse fonksiyon içbükeydir (çukurluğu aşağı doğrudur).

Tıpkı ekstremumun fonksiyonun azalan kısmını ve artan kısmını ayırması gibi, büküm noktaları da fonksiyonun dışbükey ve içbükey kısımlarını ayırır. Yani büküm noktası, fonksiyonun dışbükeyden içbükeye ya da tersine geçtiği noktadır. Daha önce, birinci türev bir noktada sıfır olsa bile orada mutlaka bir ekstremum olması gerekmediğini söylemiştik. Orada bir büküm noktası da olabilir.

Büküm noktası için ne geçerli olmalıdır? Verilen noktada dışbükey fonksiyon içbükeye (ya da tersine) dönüştüğü için o noktada ne f′′(x)>0 ne de f′′(x)<0 olabilir. Fonksiyonun bir noktada ikinci türevi varsa bu nedenle f′′(x) = 0 olmalıdır. f′′(x) = 0 ise ve aynı zamanda f′′′(x) ≠ 0 ise x noktası bir büküm noktasıdır. Örnek:

f(x) = x³ fonksiyonunun büküm noktalarını bulalım. Grafik:

Birinci, ikinci ve üçüncü türevi hesaplayalım:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

f′(x) = 0 eşitliğinin x = 0 için sağlandığını, aynı şekilde f′′(0) = 0 olduğunu görüyoruz. Fonksiyonun ikinci türevi 0 noktasında sıfırdır. Üçüncü türev ise pozitiftir, yani sıfırdan farklıdır. Fonksiyonun x = 0 noktasında bir büküm noktası vardır. Grafikten fonksiyonun içbükeyden dışbükeye geçtiğini görüyoruz.