Estudo do gráfico: monotonicidade

Ao estudar o gráfico de uma função, descobrimos, entre outras coisas, em quais intervalos a função é crescente ou decrescente. Nisso a derivada da função nos ajuda muito.

Como descobrir a monotonicidade de uma função

O coeficiente angular da reta tangente em um ponto, isto é, a derivada da função no ponto, nos diz sobre a função mais do que parece. Primeiro observe a figura seguinte:

O que podemos notar agora: se a função é estritamente decrescente em um ponto dado, então também a reta tangente nesse ponto é decrescente (mais exatamente, é decrescente a função que descreveria a reta tangente dada). Isso se vê na tangente b. A função x² + 1 é estritamente decrescente no ponto B, e também a tangente b é decrescente. Já a tangente a é crescente, e vemos que também a função x² + 1 é estritamente crescente no ponto A. A terceira tangente c é paralela ao eixo x, e vemos que nesse lugar há um extremo — especificamente, um mínimo.

Essas são coisas que se veem à primeira vista, mas convém torná-las mais precisas. Começamos pela função estritamente crescente e estritamente decrescente (no ensino médio, se costuma dizer simplesmente “crescente” e “decrescente”). Se a reta tangente da função em um ponto é crescente, então a função também é estritamente crescente nesse ponto. Quando a reta tangente é crescente? A reta tangente é crescente se o ângulo que ela forma com o semieixo positivo x está no intervalo ]0, 90[ graus. A reta tangente é decrescente se o ângulo que ela forma com o semieixo positivo x está no intervalo ]90, 180[ graus. Observe a figura seguinte:

O ângulo α é certamente menor que 90° e a reta tangente é crescente. O ângulo β é maior que 90° e a reta tangente decresce. Isso deve estar claro. Agora, de volta à função tangente. Precisamos relembrar como se calcula a tangente. Para isso vamos precisar da circunferência trigonométrica. Na circunferência trigonométrica marcamos os ângulos que queremos, e a circunferência trigonométrica nos devolve, segundo algumas regras, os valores das funções trigonométricas. O valor da tangente é representado como a coordenada y do ponto de interseção do lado do ângulo com a perpendicular ao eixo x traçada no ponto (1, 0). A figura vem a seguir:

Na figura temos a circunferência trigonométrica azul e duas retas, a reta vermelha a e a verde b. Essas retas formam com o semieixo positivo x os ângulos α e β. Da figura podemos ler facilmente a tangente desses ângulos: traçamos a perpendicular p ao eixo x no ponto (1, 0). É aquela reta cinza. A tangente do ângulo α é igual, então, à coordenada y do ponto de interseção da reta vermelha a com a reta cinza p. Dito de outro modo: a tangente do ângulo α é igual à medida do segmento |BP|.

O mesmo para a reta b e o ângulo β. A tangente do ângulo β é igual à coordenada y do ponto de interseção da reta b com a reta p. Ou seja, ao comprimento negativo do segmento CP.

Como você vê, tg(α) será positiva, enquanto tg(β) é negativa. E é isso que procurávamos. Como se vê pela figura, se o ângulo está no intervalo ]0, 90[, o que vale para o ângulo α, então a tangente desse ângulo é positiva; se é do intervalo ]90, 180[, o que vale para o ângulo β, então é negativa.

Como poderíamos agora descobrir de modo simples que ângulo a reta tangente forma em um ponto dado com o semieixo positivo x? Com as derivadas. A derivada da função nos dá o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado, e o coeficiente angular da reta tangente é justamente a tangente do ângulo que a reta tangente forma com o semieixo positivo x. Em outras palavras, se no ponto dado a primeira derivada da função é positiva, então a função é estritamente crescente. Se é negativa, então é estritamente decrescente.

Se f′(x) > 0, então a função f é estritamente crescente no ponto x. Se f′(x) < 0, então a função f é estritamente decrescente no ponto x.

Exemplo: recorramos novamente à função f(x) = x². Sabemos que a derivada dessa função é a função f′(x) = 2x. Para todos os pontos para os quais vale 2x < 0 a função é estritamente decrescente, e para todos os 2x > 0 a função é estritamente crescente. São inequações simples, então obtemos os intervalos ]−∞, 0[ em que ela é decrescente e ]0, +∞[ em que é crescente.