Függvényvizsgálat: monotonitás

A függvényvizsgálat során többek között azt is megállapítjuk, mely intervallumokon szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő a függvény. Ebben jó segítségünkre van a függvény deriváltja.

Hogyan állapítsuk meg a függvény monotonitását

Az érintő meredeksége egy pontban, vagyis a függvény deriváltja az adott pontban, többet árul el a függvényről, mint gondolnánk. Először nézd meg a következő ábrát:

Mit vehetünk észre – ha a függvény egy adott pontban szigorúan monoton csökkenő, akkor az érintő is csökken ebben a pontban (pontosabban az érintőt leíró függvény csökken). Ez jól látszik a b érintőnél. Az x² + 1 függvény a B pontban szigorúan monoton csökkenő, és a b érintő is csökkenő. Az a érintő ezzel szemben emelkedő, és látjuk, hogy az x² + 1 függvény is szigorúan monoton növekvő az A pontban. A harmadik, c érintő párhuzamos az x tengellyel, és látjuk, hogy ezen a helyen szélsőérték van – konkrétan minimum.

Ezek első pillantásra is látszanak, de pontosítani kell őket. Kezdjük a szigorúan monoton növekvő és a szigorúan monoton csökkenő függvénnyel. Ha a függvény érintője egy pontban emelkedő, akkor a függvény is szigorúan monoton növekvő ebben a pontban. Mikor emelkedő az érintő? Akkor, ha az x tengely pozitív felével bezárt szöge a ]0; 90[ fokos intervallumban van. Az érintő pedig akkor csökkenő, ha az x tengely pozitív felével bezárt szöge a ]90; 180[ fokos intervallumban van. Nézd meg a következő ábrát:

Az α szög biztosan kisebb 90 foknál, és az érintő emelkedő. A β szög nagyobb 90 foknál, és az érintő csökken. Ez világos lehet. Most vissza a tangenshez. Fel kell idéznünk, hogyan számoljuk ki a tangenst. Ehhez az egységkörre lesz szükségünk. Az egységkörre felmérjük a kívánt szögeket, és az egységkör bizonyos szabályok szerint megadja a szögfüggvények értékeit. A tangens értéke a szög szárának és az x tengelyre az (1; 0) pontban állított merőlegesnek a metszéspontja y koordinátájaként jelenik meg. Következik az ábra:

Az ábrán egy kék egységkör és két egyenes látható, a piros a egyenes és a zöld b egyenes. Ezek az egyenesek az x tengely pozitív felével α és β szöget zárnak be. Az ábráról könnyen leolvasható e szögek tangense: merőlegest állítunk az x tengelyre az (1; 0) pontban, ez a p egyenes (a szürke). Az α szög tangense ekkor a piros a egyenes és a szürke p egyenes metszéspontjának y koordinátája. Másképp mondva: az α szög tangense megegyezik a |BP| szakasz hosszával.

Ugyanez a b egyenesre és a β szögre. A β szög tangense a b egyenes és a p egyenes metszéspontjának y koordinátája. Vagyis a CP szakasz hosszának ellentettje.

Amint látod, tg(α) pozitív, míg tg(β) negatív. És pontosan ezt kerestük. Az ábráról látszik, hogy ha a szög a ]0; 90[ intervallumban van, mint az α, akkor a szög tangense pozitív, ha pedig a ]90; 180[ intervallumból való, mint a β, akkor negatív.

Hogyan tudjuk most egyszerűen megállapítani, mekkora szöget zár be az érintő az adott pontban az x tengely pozitív felével? A deriválttal. A függvény deriváltja megadja az érintő meredekségét az adott pontban, az érintő meredeksége pedig éppen az érintő és az x tengely pozitív fele által bezárt szög tangense. Más szóval, ha a függvény első deriváltja az adott pontban pozitív, akkor a függvény szigorúan monoton növekvő. Ha negatív, akkor szigorúan monoton csökkenő.

Ha f′(x) > 0, akkor az f függvény az x pontban szigorúan monoton növekvő. Ha f′(x) < 0, akkor az f függvény az x pontban szigorúan monoton csökkenő.

Példa: vegyük megint segítségül az f(x) = x² függvényt. Tudjuk, hogy ennek a függvénynek a deriváltja az f′(x) = 2x függvény. Azokban a pontokban, ahol 2x < 0, a függvény szigorúan monoton csökkenő, azokban pedig, ahol 2x > 0, szigorúan monoton növekvő. Ezek egyszerű egyenlőtlenségek, így a szigorúan monoton csökkenő szakaszra a ]−∞; 0[, a szigorúan monoton növekvőre a ]0; +∞[ intervallum jön ki.