Kurvundersökning: monotonitet

När vi undersöker en funktions kurva tar vi bland annat reda på i vilka intervall funktionen är strängt växande eller strängt avtagande. Där hjälper funktionens derivata oss bra.

Så bestämmer du en funktions monotonitet

Tangentens riktningskoefficient i en punkt, alltså funktionens derivata i punkten, säger oss mer om funktionen än man skulle tro. Titta först på följande figur:

Vi kan nu lägga märke till följande — om funktionen i en given punkt är strängt avtagande så avtar också tangenten i den punkten (närmare bestämt avtar den funktion som skulle beskriva tangenten). Det syns vid tangenten b. Funktionen x² + 1 är strängt avtagande i punkten B och även tangenten b är strängt avtagande. Tangenten a däremot är strängt växande, och vi ser att även funktionen x² + 1 är strängt växande i punkten A. Den tredje tangenten c är parallell med x-axeln, och vi ser att det där finns ett extremvärde — närmare bestämt ett minimum.

Det här är saker som syns direkt, men de behöver preciseras. Vi börjar med strängt växande och strängt avtagande funktioner. Om funktionens tangent i en punkt är strängt växande, så är också funktionen strängt växande i den punkten. När är tangenten strängt växande? Tangenten är strängt växande om vinkeln som den bildar med den positiva x-axeln ligger mellan 0 och 90 grader. Tangenten är strängt avtagande om vinkeln som den bildar med den positiva x-axeln ligger mellan 90 och 180 grader. Titta på följande figur:

Vinkeln α är säkert mindre än 90 grader och tangenten är strängt växande. Vinkeln β är större än 90 grader och tangenten avtar. Det borde vara klart. Nu tillbaka till tangens. Vi måste repetera hur tangens beräknas. För det behöver vi enhetscirkeln. På enhetscirkeln avsätter vi de vinklar vi vill ha, och enhetscirkeln ger oss enligt vissa regler de trigonometriska funktionernas värden. Tangensvärdet visas som y-koordinaten för skärningspunkten mellan vinkelbenet och den vinkelräta linjen mot x-axeln genom punkten (1, 0). Figuren följer:

I figuren har vi den blå enhetscirkeln och två linjer, den röda linjen a och den gröna b. De här linjerna bildar vinklarna α och β med den positiva x-axeln. Ur figuren kan vi enkelt utläsa tangens för de här vinklarna: vi drar en vinkelrät linje p mot x-axeln genom punkten (1, 0). Det är den grå linjen. Tangens för vinkeln α är då lika med y-koordinaten för skärningspunkten mellan den röda linjen a och den grå linjen p. Med andra ord: tangens för vinkeln α är lika med längden av sträckan |BP|.

Detsamma gäller linjen b och vinkeln β. Tangens för vinkeln β är lika med y-koordinaten för skärningspunkten mellan linjen b och linjen p. Eller med andra ord den negativa längden av sträckan CP.

Som du ser blir tan(α) positivt, medan tan(β) är negativt. Och det är vad vi sökte. Som figuren visar är tangens för vinkeln positiv om vinkeln ligger i intervallet ]0, 90[, vilket vinkeln α gör, och negativ om den ligger i intervallet ]90, 180[, vilket vinkeln β gör.

Hur tar vi nu enkelt reda på vilken vinkel tangenten i en given punkt bildar med den positiva x-axeln? Med hjälp av derivator. Funktionens derivata ger oss tangentens riktningskoefficient i den givna punkten, och tangentens riktningskoefficient är just tangens för den vinkel som tangenten bildar med den positiva x-axeln. Med andra ord: om funktionens första derivata är positiv i en given punkt, så är funktionen strängt växande. Om den är negativ är funktionen strängt avtagande.

Om f′(x) > 0 är funktionen f strängt växande i punkten x. Om f′(x) < 0 är funktionen f strängt avtagande i punkten x.

Exempel: vi tar åter funktionen f(x) = x² till hjälp. Vi vet att funktionens derivata är funktionen f′(x) = 2x. För alla punkter där 2x < 0 är funktionen strängt avtagande, och för alla 2x > 0 är funktionen strängt växande. Det är enkla olikheter, så vi får intervallen ]−∞, 0[ för strängt avtagande och ]0, +∞[ för strängt växande.