Étude de fonction : monotonie

Quand on étudie une fonction, on cherche entre autres les intervalles sur lesquels elle est strictement croissante ou strictement décroissante. La dérivée de la fonction nous y aide bien.

Comment déterminer la monotonie d’une fonction

Le coefficient directeur de la tangente en un point, c’est-à-dire le nombre dérivé de la fonction en ce point, nous en dit plus sur la fonction qu’on ne le croirait. Observe d’abord la figure suivante :

Que remarque-t-on ? Si la fonction est strictement décroissante en un point, la tangente en ce point est elle aussi décroissante (plus précisément, la fonction affine qui décrirait cette tangente est décroissante). On le voit pour la tangente b : la fonction x² + 1 est strictement décroissante au point B et la tangente b est elle aussi décroissante. À l’inverse, la tangente a est croissante, et on voit que la fonction x² + 1 est elle aussi strictement croissante au point A. La troisième tangente c est parallèle à l’axe des abscisses et on voit qu’il y a à cet endroit un extremum, plus précisément un minimum.

Ce sont des choses qu’on voit au premier coup d’œil, mais il faut les préciser. Commençons par les fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes. Si la tangente à la courbe en un point est croissante, la fonction est elle aussi strictement croissante en ce point. Quand une tangente est-elle croissante ? Elle l’est si l’angle qu’elle forme avec le demi-axe positif des abscisses est strictement compris entre 0° et 90°. La tangente est décroissante si cet angle est strictement compris entre 90° et 180°. Observe la figure suivante :

L’angle α est certainement inférieur à 90° et la tangente est croissante. L’angle β est supérieur à 90° et la tangente est décroissante. Cela devrait être clair. Revenons maintenant à la tangente d’un angle. Il faut rappeler comment on la calcule. Pour cela, nous avons besoin du cercle trigonométrique. On reporte sur le cercle trigonométrique les angles voulus, et le cercle nous donne, selon certaines règles, les valeurs des fonctions trigonométriques. La valeur de la tangente se lit comme l’ordonnée du point d’intersection du côté de l’angle avec la perpendiculaire à l’axe des abscisses menée au point (1 ; 0). La figure suit :

Sur la figure, on a le cercle trigonométrique en bleu et deux droites, la droite rouge a et la droite verte b. Ces droites forment avec le demi-axe positif des abscisses les angles α et β. On peut facilement lire sur la figure les tangentes de ces angles : on trace la perpendiculaire p à l’axe des abscisses au point (1 ; 0). C’est la droite grise. La tangente de l’angle α est alors égale à l’ordonnée du point d’intersection de la droite rouge a avec la droite grise p. Autrement dit : la tangente de l’angle α est égale à la longueur du segment [BP].

Même chose pour la droite b et l’angle β. La tangente de l’angle β est égale à l’ordonnée du point d’intersection de la droite b avec la droite p. Autrement dit, à l’opposé de la longueur du segment [CP].

Comme tu le vois, tan(α) sera strictement positive, tandis que tan(β) est strictement négative. Et c’est ce que nous cherchions. Comme on le voit sur la figure, si l’angle appartient à l’intervalle ]0 ; 90[, ce qui est le cas de l’angle α, alors sa tangente est strictement positive ; s’il appartient à ]90 ; 180[, ce qui est le cas de l’angle β, elle est strictement négative.

Comment déterminer simplement l’angle que forme la tangente en un point avec le demi-axe positif des abscisses ? Avec la dérivée. Le nombre dérivé de la fonction nous donne le coefficient directeur de la tangente en ce point, et le coefficient directeur de la tangente est précisément la tangente de l’angle que forme la tangente avec le demi-axe positif des abscisses. En d’autres termes, si la dérivée première de la fonction est strictement positive en un point, la fonction est strictement croissante en ce point. Si elle est strictement négative, la fonction est strictement décroissante.

Si f′(x) > 0, la fonction f est strictement croissante en x. Si f′(x) < 0, la fonction f est strictement décroissante en x.

Exemple : prenons de nouveau la fonction f(x) = x². On sait que sa dérivée est la fonction f′(x) = 2x. Pour tous les points tels que 2x < 0, la fonction est strictement décroissante, et pour tous ceux tels que 2x > 0, elle est strictement croissante. Ce sont des inéquations simples, et on obtient les intervalles ]−∞ ; 0[ pour la décroissance stricte et ]0 ; +∞[ pour la croissance stricte.