Estudio de una función: monotonía

Al estudiar una función averiguamos, entre otras cosas, en qué intervalos es creciente o decreciente. Para ello nos resulta muy útil la derivada de la función.

Cómo averiguar la monotonía de una función

La pendiente de la recta tangente en un punto, es decir, la derivada de la función en ese punto, nos dice sobre la función más de lo que parece. Para empezar, fíjate en la siguiente figura:

¿Qué podemos observar? Si la función es decreciente en un punto, también es decreciente la tangente en ese punto (más exactamente, la función que describiría esa tangente). Se ve en la tangente b. La función x² + 1 es decreciente en el punto B y la tangente b también es decreciente. En cambio, la tangente a es creciente y vemos que la función x² + 1 también es creciente en el punto A. La tercera tangente, c, es paralela al eje x y vemos que en ese lugar hay un extremo, en concreto un mínimo.

Son cosas que se ven a simple vista, pero conviene precisarlas. Empezamos por las funciones crecientes y decrecientes. Si la recta tangente a la función en un punto es creciente, la función también es creciente en ese punto. ¿Cuándo es creciente la tangente? La tangente es creciente si el ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas está en el intervalo (0, 90) grados. Y es decreciente si el ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas está en el intervalo (90, 180) grados. Observa la siguiente figura:

El ángulo α es claramente menor que 90 grados y la tangente es creciente. El ángulo β es mayor que 90 grados y la tangente decrece. Debería estar claro. Volvamos ahora a la tangente trigonométrica. Tenemos que recordar cómo se calcula. Para ello necesitaremos la circunferencia goniométrica. Sobre ella representamos los ángulos que nos interesan y, siguiendo ciertas reglas, la circunferencia nos devuelve los valores de las funciones trigonométricas. El valor de la tangente se representa como la coordenada y del punto de corte del lado del ángulo con la perpendicular al eje x trazada por el punto (1, 0). Veámoslo en la figura:

En la figura tenemos la circunferencia goniométrica azul y dos rectas: la roja a y la verde b. Estas rectas forman con el semieje positivo de abscisas los ángulos α y β. De la figura podemos leer fácilmente la tangente de estos ángulos: trazamos la perpendicular p al eje x por el punto (1, 0). Es la recta gris. La tangente del ángulo α es igual a la coordenada y del punto de corte de la recta roja a con la recta gris p. Dicho de otro modo: la tangente del ángulo α es igual a la longitud del segmento |BP|.

Lo mismo ocurre con la recta b y el ángulo β. La tangente del ángulo β es igual a la coordenada y del punto de corte de la recta b con la recta p. Es decir, a la longitud del segmento CP cambiada de signo.

Como ves, tan(α) será positiva, mientras que tan(β) es negativa. Y eso es lo que buscábamos. Como se ve en la figura, si el ángulo está en el intervalo (0, 90), como ocurre con α, su tangente es positiva; si está en el intervalo (90, 180), como ocurre con β, es negativa.

¿Cómo averiguaríamos ahora, de manera sencilla, qué ángulo forma la recta tangente en un punto con el semieje positivo de abscisas? Mediante las derivadas. La derivada de una función nos da la pendiente de la recta tangente en un punto, y la pendiente de la recta tangente es precisamente la tangente del ángulo que forma la recta tangente con el semieje positivo de abscisas. En otras palabras, si en un punto la primera derivada de la función es positiva, la función es creciente. Si es negativa, es decreciente.

Si f′(x) > 0, la función f es estrictamente creciente en el punto x. Si f′(x) < 0, la función f es estrictamente decreciente en el punto x.

Ejemplo: tomemos de nuevo la función f(x) = x². Sabemos que su derivada es la función f′(x) = 2x. En todos los puntos en los que se cumple 2x < 0 la función es decreciente, y en todos los puntos con 2x > 0 es creciente. Son inecuaciones sencillas, así que obtenemos los intervalos (−∞, 0) para la parte decreciente y (0, +∞) para la creciente.