Studiul funcției: monotonia

Când studiem o funcție, aflăm, printre altele, și pe ce intervale este ea strict crescătoare sau strict descrescătoare. Pentru asta ne ajută foarte bine derivata funcției.

Cum aflăm monotonia funcției

Panta tangentei într-un punct, adică derivata funcției în punct, ne spune despre funcție mai mult decât s-ar crede. Mai întâi privește figura următoare:

Ce putem observa – dacă funcția este într-un punct strict descrescătoare, atunci și tangenta în acel punct este descrescătoare (mai exact, este descrescătoare funcția care ar descrie tangenta). Se vede la tangenta b. Funcția x² + 1 este în punctul B strict descrescătoare și tangenta b este și ea descrescătoare. Dimpotrivă, tangenta a este crescătoare și vedem că și funcția x² + 1 este în punctul A strict crescătoare. A treia tangentă, c, este paralelă cu axa Ox și vedem că în acest loc se află un extrem – anume un minim.

Acestea se văd la prima vedere, dar trebuie precizate. Începem cu funcția strict crescătoare și cea strict descrescătoare. Dacă tangenta la grafic într-un punct este crescătoare, atunci și funcția este în acel punct strict crescătoare. Când este tangenta crescătoare? Tangenta este crescătoare dacă unghiul pe care îl face cu semiaxa pozitivă Ox se află în intervalul (0, 90) de grade. Tangenta este descrescătoare dacă unghiul pe care îl face cu semiaxa pozitivă Ox se află în intervalul (90, 180) de grade. Privește figura următoare:

Unghiul α este sigur mai mic de 90 de grade și tangenta este crescătoare. Unghiul β este mai mare de 90 de grade și tangenta coboară. Asta ar trebui să fie clar. Acum înapoi la tangentă (funcția trigonometrică). Trebuie să ne amintim cum se calculează tangenta. Pentru asta avem nevoie de cercul trigonometric. Pe cercul trigonometric reprezentăm unghiurile dorite, iar cercul trigonometric ne dă, după anumite reguli, valorile funcțiilor trigonometrice. Valoarea tangentei se citește ca ordonata (coordonata y) punctului de intersecție a laturii unghiului cu perpendiculara pe axa Ox dusă prin punctul (1, 0). Figura urmează:

În figură avem cercul trigonometric albastru și două drepte, dreapta roșie a și dreapta verde b. Aceste drepte formează cu semiaxa pozitivă Ox unghiurile α și β. Din figură putem citi ușor tangenta acestor unghiuri: ducem perpendiculara p pe axa Ox prin punctul (1, 0). Aceea este dreapta gri. Tangenta unghiului α este atunci egală cu ordonata punctului de intersecție a dreptei roșii a cu dreapta gri p. Cu alte cuvinte: tangenta unghiului α este egală cu lungimea segmentului |BP|.

La fel pentru dreapta b și unghiul β. Tangenta unghiului β este egală cu ordonata punctului de intersecție a dreptei b cu dreapta p. Adică cu lungimea negativă a segmentului CP.

După cum vezi, tg(α) va fi pozitivă, în timp ce tg(β) este negativă. Și asta am căutat. După cum se vede din figură, dacă unghiul se află în intervalul (0, 90), cum este unghiul α, atunci tangenta lui este pozitivă, iar dacă se află în intervalul (90, 180), cum este unghiul β, atunci este negativă.

Cum am afla acum simplu ce unghi face tangenta la grafic într-un punct dat cu semiaxa pozitivă Ox? Cu ajutorul derivatelor. Derivata funcției ne dă panta tangentei în punctul dat, iar panta tangentei este tocmai tangenta (trigonometrică) a unghiului pe care îl face tangenta la grafic cu semiaxa pozitivă Ox. Cu alte cuvinte, dacă într-un punct prima derivată a funcției este pozitivă, atunci funcția este strict crescătoare. Dacă este negativă, atunci este strict descrescătoare.

Dacă f′(x) > 0, atunci funcția f este în punctul x strict crescătoare. Dacă f′(x) < 0, atunci funcția f este în punctul x strict descrescătoare.

Exemplu: luăm din nou ca ajutor funcția f(x) = x². Știm că derivata ei este funcția f′(x) = 2x. Pentru toate punctele pentru care 2x < 0 funcția este strict descrescătoare, iar pentru toate 2x > 0 funcția este strict crescătoare. Sunt inecuații simple, deci obținem intervalele (−∞, 0) pentru strict descrescătoare și (0, +∞) pentru strict crescătoare.