Funktion kulun tutkiminen: monotonisuus

Funktion kulkua tutkittaessa selvitetään muun muassa, millä väleillä funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Siinä auttaa hyvin funktion derivaatta.

Miten funktion monotonisuus selvitetään

Tangentin kulmakerroin pisteessä, eli funktion derivaatta pisteessä, kertoo funktiosta enemmän kuin voisi uskoa. Tutki ensin seuraavaa kuvaa:

Mitä nyt voidaan huomata – jos funktio on annetussa pisteessä aidosti vähenevä, myös tangentti on tässä pisteessä laskeva (tarkemmin sanottuna aidosti vähenevä on se funktio, joka kuvaisi kyseistä tangenttia). Tämä nähdään tangentista b. Funktio x² + 1 on pisteessä B aidosti vähenevä, ja myös tangentti b on laskeva. Tangentti a taas on nouseva, ja nähdään, että myös funktio x² + 1 on pisteessä A aidosti kasvava. Kolmas tangentti c on x-akselin suuntainen, ja nähdään, että tässä kohdassa on ääriarvo – tarkemmin sanottuna minimi.

Nämä asiat nähdään ensisilmäyksellä, mutta ne täytyy vielä täsmentää. Aloitetaan aidosti kasvavasta ja aidosti vähenevästä funktiosta. Jos funktion tangentti pisteessä on nouseva, myös funktio on tässä pisteessä aidosti kasvava. Milloin tangentti on nouseva? Tangentti on nouseva, jos sen positiivisen x-akselin kanssa muodostama kulma on välillä ]0, 90[ astetta. Tangentti on laskeva, jos sen positiivisen x-akselin kanssa muodostama kulma on välillä ]90, 180[ astetta. Tutki seuraavaa kuvaa:

Kulma α on varmasti pienempi kuin 90 astetta, ja tangentti on nouseva. Kulma β on suurempi kuin 90 astetta, ja tangentti laskee. Tämän pitäisi olla selvää. Palataan nyt tangenttifunktioon. On kerrattava, miten kulman tangentti lasketaan. Siihen tarvitaan yksikköympyrää. Yksikköympyrälle piirretään halutut kulmat, ja yksikköympyrä antaa tiettyjen sääntöjen mukaan trigonometristen funktioiden arvot. Kulman tangentin arvo näkyy kulman kyljen ja x-akselin normaalin leikkauspisteen y-koordinaattina, kun normaali on piirretty pisteeseen (1, 0). Kuva seuraa:

Kuvassa on sininen yksikköympyrä ja kaksi suoraa, punainen suora a ja vihreä suora b. Nämä suorat muodostavat positiivisen x-akselin kanssa kulmat α ja β. Kuvasta nähdään helposti näiden kulmien tangentit: piirretään x-akselin normaali p pisteeseen (1, 0). Se on se harmaa suora. Kulman α tangentti on silloin yhtä suuri kuin punaisen suoran a ja harmaan suoran p leikkauspisteen y-koordinaatti. Toisin sanoen: kulman α tangentti on yhtä suuri kuin janan |BP| pituus.

Sama pätee suoralle b ja kulmalle β. Kulman β tangentti on yhtä suuri kuin suoran b ja suoran p leikkauspisteen y-koordinaatti. Eli janan CP pituuden vastaluku.

Kuten nähdään, tan(α) on positiivinen, kun taas tan(β) on negatiivinen. Ja juuri tätä haettiin. Kuvasta nähdään, että jos kulma on välillä ]0, 90[, kuten kulma α, kulman tangentti on positiivinen, ja jos kulma on välillä ]90, 180[, kuten kulma β, se on negatiivinen.

Miten nyt saadaan helposti selville, minkä kulman tangentti muodostaa annetussa pisteessä positiivisen x-akselin kanssa? Derivaatan avulla. Funktion derivaatta antaa tangentin kulmakertoimen annetussa pisteessä, ja tangentin kulmakerroin on juuri sen kulman tangentti, jonka tangentti muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Toisin sanoen, jos funktion ensimmäinen derivaatta on annetussa pisteessä positiivinen, funktio on aidosti kasvava. Jos se on negatiivinen, funktio on aidosti vähenevä.

Jos f′(x) > 0, funktio f on pisteessä x aidosti kasvava. Jos f′(x) < 0, funktio f on pisteessä x aidosti vähenevä.

Esimerkki: otetaan jälleen avuksi funktio f(x) = x². Tiedetään, että tämän funktion derivaatta on funktio f′(x) = 2x. Kaikissa pisteissä, joissa 2x < 0, funktio on aidosti vähenevä, ja kaikissa pisteissä, joissa 2x > 0, funktio on aidosti kasvava. Nämä ovat yksinkertaisia epäyhtälöitä, joten saadaan väli ]−∞, 0[, jolla funktio on aidosti vähenevä, ja väli ]0, ∞[, jolla se on aidosti kasvava.