Birim Çember

Birim çember sıradan bir çemberdir; tek özelliği yarıçapının 1’e eşit olmasıdır. Birim çember, trigonometrik fonksiyonların tanımlarını güzel bir biçimde göstermeye yarar.

Birim Çember Nedir

Birim çember, yarıçapının uzunluğu 1 olan ve merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında, yani (0, 0) noktasında bulunan çemberdir. Aşağıdaki şekle bak:

Çember ayrıca bölge adı verilen dört parçaya ayrılır. Sağ üstte I. bölge, sol üstte II. bölge, sol altta III. bölge ve sağ altta IV. bölge bulunur. Bu çemberi açıları göstermek için kullanacağımız için çember üzerinde dereceler işaretlenmiştir. Açının başlangıç kolu sıfır derecenin olduğu yerde, yani yatay eksenin pozitif kısmında bulunur; açı buradan saatin dönme yönünün tersine, yani önce yukarı doğru büyür. Bu yüzden (0, 1) noktasında dik açı, yani 90° yazılıdır.

Çember Üzerinde Sinüs ve Kosinüsün Tanımı

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonları çok güzel gösterebiliriz. Önce birim çembere bir açı çizeriz, sonra her fonksiyonun değerini çember üzerinde nerede okuyabileceğimizi göstereriz.

Çembere AOB açısını çizdik (kırmızıyla). Bu açıya alfa adını verdik. Açının kolları birim çemberi iki noktada keser: A ve B. Bizim için önemli olan B noktası. B noktasından x eksenine paralel bir doğru çizersek (şekilde kesik çizgiyle gösterilen yatay çizgi), bu doğru y eksenini yalnızca bir noktada keser. Bu noktayı P_s ile gösterelim. Burada OP_s doğru parçasının (yeşil doğru parçası) uzunluğu alfa açısının sinüsüne eşittir.

Merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan birim çemberde çalıştığımız için, OP_s doğru parçasının (yeşil doğru parçası) uzunluğu P_s noktasının y koordinatına eşittir; bu da B noktasının y koordinatına eşittir.

Aynı çember üzerinde kosinüsü de okuyabiliriz. Bunun için B noktasından geçen ve y eksenine paralel olan bir doğru çizeriz. Bu doğru x eksenini bir noktada keser, ona P_c diyelim. OP_c doğru parçasının uzunluğu alfa açısının kosinüsüne eşittir. Yine bu değerin B ve P_c noktalarının x koordinatına eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Tanjant ve Kotanjantın Tanımı

Birim çember üzerinde sinüs ve kosinüsü tanımladığımız gibi, burada tanjant ve kotanjantı da tanımlayabiliriz. Önce, birim çember üzerinde tanjantın nerede ortaya çıktığını gösterelim. Bunun için bir doğruya daha ihtiyacımız olacak. Bu doğru y eksenine paraleldir ve A noktasından, yani (1, 0) noktasından geçer. Aşağıdaki şekilde bu mavi doğrudur:

Bu doğru, OB ışınını (açının kolunu) bir noktada keser; bu noktaya P_t diyelim. AP_t doğru parçasının uzunluğu alfa açısının tanjantına eşittir. Yine P_t noktasının y koordinatını almak yeterlidir ve alfa açısının tanjantını elde ederiz.

Kotanjantı birim çember üzerinde göstermek için bir doğruya daha ihtiyacımız olacak. Bu kez (0, 1) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan bir doğru çizeceğiz. Yine mavi renkle vurgulanmıştır:

Bu doğru OB ışınını (açının kolunu) bir noktada keser, ona P_k diyelim. CP_k doğru parçasının uzunluğu alfa açısının kotanjantına eşittir. Her zaman olduğu gibi yalnızca P_k noktasının x koordinatını alıp açının kotanjantını elde edebiliriz.

Peki alfa açısı tanjant için 90°’den, kotanjant için 180°’den büyük olursa ne olur? Bu durumlarda doğru açının koluyla kesişmez; aşağıdaki şekle bak:

Bu durumda OB ışınını doğru hâline getiririz ve bu doğru artık p doğrusunu keser.

Tanjant için de benzer şekilde ilerleriz.

Tanjant ve Kotanjant Ne Zaman Tanımsızdır

Birim çember üzerinde ilginç bir şey fark edebiliriz. Alfa açısı 180°’ye eşitse p doğrusu ile açının kolu hiçbir zaman kesişmez, çünkü paraleldirler. Bu sorunu nasıl düzeltiriz? Düzeltemeyiz; 180°’nin kotanjantı tanımsızdır. Benzer şekilde 90°’nin tanjantı da tanımsızdır, çünkü böyle bir kol y eksenine paralel olur ve dolayısıyla kesişmesi gereken doğruya da paralel olur. Aşağıdaki şekil bunu en azından kotanjant için gösteriyor.