Fonksiyonun Seyri: Ekstremumlar

Bir fonksiyonun ekstremumları, fonksiyonun en büyük ya da en küçük değerlerini aldığı noktalardır.

Fonksiyonun Ekstremumları

İki temel ekstremum türü vardır: minimum ve maksimum. Bunları ayrıca mutlak maksimum/minimum ve yerel maksimum/minimum olarak ayırırız. Mutlak maksimum, fonksiyonun tanım kümesindeki tüm noktalar arasında en büyük değeri aldığı noktadır. Bu değeri alan tek bir nokta varsa bunun kesin maksimum olduğunu söyleriz. Çünkü bir fonksiyon en büyük değerini birden fazla noktada da alabilir; tıpkı iki farklı çalışanın ikisinin de ayda 1.000.000 TL ile en yüksek maaşı alabilmesi gibi. Minimum ve maksimumun tanımları fonksiyonlar konusunda verilmiştir.

Yerel minimumu ise fonksiyonun tanım kümesinin yalnızca bir kısmında, genellikle bir aralıkta tanımlarız. Yerel maksimum ve minimumun tanımları şöyledir:

• f fonksiyonunun tanım kümesindeki bir M noktası için ϵ > 0 olmak üzere öyle bir U = (M − ϵ, M + ϵ) komşuluğu varsa ki f fonksiyonunun tanım kümesi ile U’nun kesişimindeki her x için f(x) ≤ f(M) olsun, f fonksiyonunun M noktasında yerel maksimumu vardır.
• f fonksiyonunun tanım kümesindeki bir m noktası için ϵ > 0 olmak üzere öyle bir U = (m − ϵ, m + ϵ) komşuluğu varsa ki f fonksiyonunun tanım kümesi ile U’nun kesişimindeki her x için f(x) ≥ f(m) olsun, f fonksiyonunun m noktasında yerel minimumu vardır.

Sonsuz sayıda ekstremumu olan bir fonksiyona örnek f(x) = x · sin x fonksiyonudur:

Peki tanımda neden “f fonksiyonunun tanım kümesi ile U’nun kesişimindeki her x için” deniyor, yani tanım kümesiyle neden kesişim alınıyor? Örneğin şu nedenle: grafiği aşağıda verilen fonksiyonun…

…m = 1 noktasında minimumu vardır, ama m = 1 noktasının solunda hiçbir komşulukta fonksiyon tanımlı değildir; dolayısıyla bu sol komşulukta f(x) ≥ f(m) sağlanmazdı. Tanım kümesiyle de kesişim alınca yalnızca sağ komşuluk kalır.

Ekstremumları Bulmanın Temel İlkesi

Şimdi f(x) = x² + 1 fonksiyonunun grafiğine ve üç teğetine geri dönelim:

Özellikle c teğetine odaklanalım. Teğetin grafiğe x² + 1 fonksiyonunun minimum noktasında değdiğini ve yatay olduğunu, yani x eksenine paralel olduğunu görüyoruz. Yani x ekseninin pozitif yönüyle 0 derecelik bir açı “yapıyor”. Fonksiyonu ters çevirirsek ve minimum yerine maksimum olursa ne olur? −x² + 1 fonksiyonunun grafiği:

−x² + 1 fonksiyonunun maksimum noktasından geçen c teğetinin de yine x eksenine paralel olduğuna dikkat et. Buradan şu kural çıkar: bir fonksiyonun minimumunu ya da maksimumunu arıyorsak, x eksenine paralel, yani x ekseniyle yaptığı açının tanjantı sıfır olan bir teğet ararız. Önceki şekilden tan(0°) = 0 olduğu görülebilir. Türev dilinde bu, türevi sıfıra eşit olan bir nokta aramak demektir: f′(x) = 0.

En sevdiğimiz f(x) = x² + 1 fonksiyonunun ekstremumunu türev yardımıyla bulalım. f fonksiyonunun türevi f′(x) = 2x olur. Sonra birinci türevin ne zaman sıfır olduğunu arıyoruz, yani f′(x) = 0 denklemini çözüyoruz; yerine yazınca 2x = 0 olur. Bu açıkça x = 0 için sağlanır. Bunun, f(x) = x² + 1 fonksiyonunun x = 0 noktasında mutlak minimumu olduğuyla uyuştuğunu görüyoruz.

“Kuralın” İstisnaları

Bir fonksiyonun x noktasında ancak ve ancak türev o noktada sıfırsa ekstremumu olduğunu söylemek isteyebilirsin. Maalesef bu doğru değil, iş bu kadar basit değil. Şu örneklere bakalım:

• f(x) = x³ fonksiyonunun ekstremumlarını bulmaya çalışalım. Bu fonksiyonun birinci türevi f′(x) = 3x² olur. f′(x) = 0 denklemini, yani 3x² = 0 denklemini çözelim. Bu açıkça x = 0 için sağlanır. Ama x³ fonksiyonunun x = 0 noktasında bir ekstremumu var mı? Grafiğe bakalım:

  

  x = 0 noktasında hiçbir ekstremum olmadığını görüyoruz; ne mutlak ne de yerel. Öyleyse bu noktada türev neden sıfır çıkıyor? Çünkü bu noktada t teğeti sadece x eksenine paraleldir, aşağıdaki şekle bak:

  

• Peki f(x) = |x| gibi sevimli bir fonksiyon, yani x’in mutlak değeri? Grafikten x = 0 noktasında mutlak minimumu olduğunu okuyabiliriz:

  

  Ama bu fonksiyonun x = 0 noktasında türevi yok! x = 0 noktasında fonksiyonun teğeti yoktur, çünkü böyle bir teğetin nasıl görüneceğini söylemek zordur.

Dolayısıyla şunlar geçerlidir:

• f fonksiyonunun x noktasında bir ekstremumu, yani minimumu ya da maksimumu varsa ve bu noktada türev varsa (!), bu türev sıfırdır. Fonksiyonun x noktasında ekstremumu olup aynı noktada hiçbir türevinin bulunmaması da mümkündür.

• f fonksiyonunun x noktasında türevi sıfırsa, bu noktada ekstremum olabilir, ama olmak zorunda da değildir.

Fonksiyonun Ekstremumları Nasıl Bulunur

Girdi olarak, tüm tanım kümesinde türevlenebilen bir f fonksiyonumuz olduğunu varsayalım. İlk adımda f fonksiyonunun türevini alırız ve f′ fonksiyonunu elde ederiz. Sonra birinci türevi sıfıra eşitleriz, yani f′(x) = 0 denklemini çözeriz. Bu denklemin çözümleri ekstremumdan “şüphelenilen” noktalardır, yani kritik noktalardır.

Sonra bu kritik noktalardan hangilerinin ekstremum olduğunu belirlemeliyiz. Bunu örneğin f fonksiyonunun ikinci türevinden anlarız. s kritik nokta ise, yani f′(s) = 0 ise: f′′(s) > 0 olduğunda s noktasında minimum, f′′(s) < 0 olduğunda ise s noktasında maksimum vardır.

Bu noktada ikinci türev de sıfırsa türev almaya devam etmemiz gerekir, bunu biraz sonra göreceğiz. Şimdi bir örnek. f(x) = 3x² + 6x fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun ekstremumlarını bulalım.

Birinci türevi hesaplarız: f′(x) = 6x + 6. Birinci türevi sıfıra eşitleyelim:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Böylece x = −1 noktasında bir kritik nokta, yani ekstremumdan şüphelenilen bir nokta vardır. İkinci türevi hesaplayalım. İkinci türev f′′(x) = 0x + 6 fonksiyonuna eşittir. x = −1 noktasını yerine yazınca f′′(−1) = 6 elde ederiz. Sonuç pozitif olduğundan fonksiyonun bu noktada minimumu vardır. Grafik:

İkinci Türev de Sıfırsa Ne Olur?

f(x) = x⁴ fonksiyonunun ekstremumunu bulmaya çalışalım, grafik:

Bu fonksiyonun birinci türevi f′(x) = 4x³ olur. f′(x) = 0 denkleminin çözümü doğal olarak tek bir kritik nokta olan s = 0 noktasıdır. İkinci türevi hesaplayalım, bu f′′(x) = 12x² fonksiyonuna eşittir. Bu ikinci türevde kritik nokta s yerine yazılırsa

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0$$

elde ederiz. Sıfır çıktı ve şimdiye kadar söylediklerimize göre bu noktada ekstremum olup olmadığını anlayamayız. Ama biz bu noktada ekstremum olduğunu görüyoruz. Bu durumla karşılaşırsak türev almaya devam ederiz. Üçüncü türevi bulup kritik nokta s’yi yerine yazarız. Sıfırdan farklı bir sayı çıkarsa s noktası bir büküm noktasıdır (bu konuya sonra döneceğiz). Sıfır çıkarsa türev almaya devam ederiz. Dördüncü türevde ikinci türevdeki gibi karar veririz: kritik noktayı yerine yazarız; fonksiyon değeri pozitifse orada minimum, negatifse orada maksimum vardır.

Üçüncü türev f′′′(x) = 24x fonksiyonuna eşittir, yerine yazınca f′′′(0) = 0 buluruz, yani türev almaya devam ederiz. Dördüncü türev f′′′′(x) = 24 biçimindedir. Dördüncü türevin artık her zaman pozitif olduğunu görüyoruz; buradan ikinci türevdeki gibi fonksiyonun s = 0 noktasında minimumu olduğu sonucunu çıkarabiliriz. Gerçekten de vardır.

Fonksiyonun Ekstremumlarını Bulma Adımlarının Özeti

1. Türevlenebilen bir f fonksiyonu verilmiştir.

2. f fonksiyonunun türevini alırız.

3. f′(x) = 0 denklemini çözeriz. Denklemin çözümü olan her s noktasına kritik nokta, yani ekstremumdan şüphelenilen nokta deriz.

4. İkinci türevi hesaplarız.

5. İkinci türevin tüm s kritik noktalarındaki değerini hesaplarız. f′′(s) > 0 ise fonksiyonun s noktasında minimumu, f′′(s) < 0 ise s noktasında maksimumu vardır. f′′(s) = 0 ise türev almaya devam ederiz.

   İpucu: İkinci türevin pozitif mi negatif mi olması gerektiğini ezberlemek istemiyorsan, bunu örneğin x² fonksiyonundan çıkarabilirsin. Bu fonksiyonun grafiğini bilmen gerekir; birinci ve ikinci türevi de basittir: f′(x) = 2x ve f′′(x) = 2. İkinci türev hep pozitiftir ve x² fonksiyonunun x = 0 noktasında minimumu vardır.

6. Üçüncü türevi hesaplarız. f′′′(s) ≠ 0 ise s noktası bir büküm noktasıdır, değilse türev almaya devam ederiz.

7. Dördüncü türevi hesaplarız. f′′′′(s) ≠ 0 ise noktada bir ekstremum vardır. Değilse türev almaya devam ederiz.

8. Bu böyle sürer gider. Sıfırdan farklı ilk türev tek mertebeden bir türevse nokta bir büküm noktasıdır. Sıfırdan farklı türev çift mertebedense nokta bir ekstremumdur.