Kurvendiskussion: Monotonie

Bei der Kurvendiskussion untersuchen wir unter anderem, in welchen Intervallen die Funktion steigt oder fällt. Dabei hilft uns die Ableitung der Funktion.

Wie man die Monotonie einer Funktion bestimmt

Die Steigung der Tangente an einer Stelle, also die Ableitung der Funktion an dieser Stelle, verrät uns mehr über die Funktion, als man denken würde. Sieh dir zuerst das folgende Bild an:

Was fällt uns auf – wenn die Funktion an einer Stelle fällt, dann fällt auch die Tangente an dieser Stelle (genauer gesagt die Funktion, die diese Tangente beschreibt). Das siehst du an der Tangente b. Die Funktion x² + 1 fällt im Punkt B und auch die Tangente b fällt. Die Tangente a dagegen steigt, und wir sehen, dass auch die Funktion x² + 1 im Punkt A steigt. Die dritte Tangente c ist parallel zur x-Achse, und wir sehen, dass an dieser Stelle ein Extremum liegt – konkret ein Minimum.

Das sind Dinge, die man auf den ersten Blick sieht, aber sie müssen noch präzisiert werden. Wir beginnen mit steigenden und fallenden Funktionen. Wenn die Tangente der Funktion an einer Stelle steigt, dann steigt auch die Funktion an dieser Stelle. Wann steigt die Tangente? Die Tangente steigt, wenn der Winkel, den sie mit der positiven x-Achse einschließt, zwischen 0 und 90 Grad liegt. Die Tangente fällt, wenn der Winkel, den sie mit der positiven x-Achse einschließt, zwischen 90 und 180 Grad liegt. Sieh dir das folgende Bild an:

Der Winkel α ist sicher kleiner als 90 Grad und die Tangente steigt. Der Winkel β ist größer als 90 Grad und die Tangente fällt. Das sollte klar sein. Nun zurück zum Tangens. Wir müssen uns wiederholen, wie man den Tangens berechnet. Dazu brauchen wir den Einheitskreis. Wir tragen unsere gewünschten Winkel am Einheitskreis ab, und der Einheitskreis liefert uns nach bestimmten Regeln die Werte der Winkelfunktionen. Der Wert des Tangens wird als y-Koordinate des Schnittpunkts des Schenkels des Winkels mit der Senkrechten zur x-Achse im Punkt (1 ∣ 0) dargestellt. Hier das Bild:

Im Bild siehst du den blauen Einheitskreis und zwei Geraden, die rote Gerade a und die grüne Gerade b. Diese Geraden bilden mit der positiven x-Achse die Winkel α und β. Aus dem Bild können wir den Tangens dieser Winkel leicht ablesen: Wir legen die Senkrechte p zur x-Achse im Punkt (1 ∣ 0). Das ist die graue Gerade. Der Tangens des Winkels α ist dann gleich der y-Koordinate des Schnittpunkts der roten Geraden a mit der grauen Geraden p. Anders gesagt: Der Tangens des Winkels α ist gleich der Länge der Strecke |BP|.

Dasselbe gilt für die Gerade b und den Winkel β. Der Tangens des Winkels β ist gleich der y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden b mit der Geraden p. Also der negativen Länge der Strecke CP.

Wie du siehst, ist tan(α) positiv, während tan(β) negativ ist. Und genau das haben wir gesucht. Wie das Bild zeigt, ist der Tangens eines Winkels positiv, wenn der Winkel im Intervall ]0; 90[ liegt, was für den Winkel α zutrifft, und negativ, wenn er im Intervall ]90; 180[ liegt, was für den Winkel β zutrifft.

Wie finden wir nun einfach heraus, welchen Winkel die Tangente an einer Stelle mit der positiven x-Achse einschließt? Mithilfe der Ableitungen. Die Ableitung der Funktion gibt uns die Steigung der Tangente an der jeweiligen Stelle, und die Tangentensteigung ist genau der Tangens des Winkels, den die Tangente mit der positiven x-Achse einschließt. Mit anderen Worten: Wenn die erste Ableitung der Funktion an einer Stelle positiv ist, dann steigt die Funktion. Wenn sie negativ ist, dann fällt sie.

Wenn f′(x) > 0, dann ist die Funktion f an der Stelle x streng monoton steigend. Wenn f′(x) < 0, dann ist die Funktion f an der Stelle x streng monoton fallend.

Beispiel: Nehmen wir wieder die Funktion f(x) = x² zu Hilfe. Wir wissen, dass die Ableitung dieser Funktion die Funktion f′(x) = 2x ist. Für alle Stellen, für die 2x < 0 gilt, ist die Funktion streng monoton fallend, und für alle 2x > 0 ist die Funktion streng monoton steigend. Das sind einfache Ungleichungen, also erhalten wir die Intervalle ]−∞; 0[ für fallend und ]0; +∞[ für steigend.