Studio di funzione: monotonia

Nello studio di funzione stabiliamo, tra l’altro, anche in quali intervalli la funzione è crescente o decrescente. A questo scopo ci è molto utile la derivata della funzione.

Come determinare la monotonia di una funzione

Il coefficiente angolare della tangente in un punto, cioè la derivata della funzione in quel punto, ci dice sulla funzione più di quanto sembri. Per prima cosa osserva la figura seguente:

Possiamo notare che, se la funzione è decrescente in un dato punto, è decrescente anche la tangente in quel punto (più precisamente, è decrescente la funzione che descriverebbe quella tangente). Lo si vede con la tangente b. La funzione x² + 1 è decrescente nel punto B e anche la tangente b è decrescente. Invece la tangente a è crescente e vediamo che anche la funzione x² + 1 è crescente nel punto A. La terza tangente c è parallela all’asse x e vediamo che in quel punto c’è un estremo – precisamente un minimo.

Sono cose che si vedono a colpo d’occhio, ma conviene precisarle. Cominciamo con la funzione crescente e decrescente. Se la tangente alla funzione in un punto è crescente, allora anche la funzione è crescente in quel punto. Quando è crescente la tangente? La tangente è crescente se l’angolo che forma con il semiasse positivo delle x sta nell’intervallo (0°; 90°). La tangente è invece decrescente se l’angolo che forma con il semiasse positivo delle x sta nell’intervallo (90°; 180°). Osserva la figura seguente:

L’angolo α è sicuramente minore di 90° e la tangente è crescente. L’angolo β è maggiore di 90° e la tangente è decrescente. Dovrebbe essere chiaro. Torniamo ora alla funzione tangente: dobbiamo ripassare come si calcola. Ci servirà la circonferenza goniometrica. Sulla circonferenza goniometrica riportiamo gli angoli che ci interessano e la circonferenza, secondo certe regole, ci restituisce i valori delle funzioni goniometriche. Il valore della tangente si rappresenta come ordinata del punto di intersezione del lato dell’angolo con la retta perpendicolare all’asse x passante per il punto (1; 0). Ecco la figura:

Nella figura vediamo in blu la circonferenza goniometrica e due rette, la retta a rossa e la retta b verde. Queste rette formano con il semiasse positivo delle x gli angoli α e β. Dalla figura possiamo ricavare facilmente la tangente di questi angoli: tracciamo la perpendicolare p all’asse x nel punto (1; 0). È la retta grigia. La tangente dell’angolo α è allora uguale all’ordinata del punto di intersezione della retta rossa a con la retta grigia p. In altre parole: la tangente dell’angolo α è uguale alla lunghezza del segmento |BP|.

Lo stesso vale per la retta b e l’angolo β. La tangente dell’angolo β è uguale all’ordinata del punto di intersezione della retta b con la retta p. Ossia all’opposto della lunghezza del segmento CP.

Come vedi, tan(α) sarà positiva, mentre tan(β) è negativa. Ed è proprio quello che cercavamo. Come si vede dalla figura, se l’angolo sta nell’intervallo (0; 90), come l’angolo α, la sua tangente è positiva; se sta nell’intervallo (90; 180), come l’angolo β, è negativa.

Come potremmo ora stabilire in modo semplice quale angolo forma la tangente in un dato punto con il semiasse positivo delle x? Con le derivate. La derivata di una funzione ci dà il coefficiente angolare della tangente in un dato punto, e il coefficiente angolare della tangente è proprio la tangente dell’angolo che la retta tangente forma con il semiasse positivo delle x. In altre parole, se in un dato punto la derivata prima della funzione è positiva, la funzione è crescente. Se è negativa, è decrescente.

Se f′(x) > 0, la funzione f è crescente nel punto x. Se f′(x) < 0, la funzione f è decrescente nel punto x.

Esempio: prendiamo di nuovo la funzione f(x) = x². Sappiamo che la sua derivata è la funzione f′(x) = 2x. In tutti i punti in cui 2x < 0 la funzione è decrescente e in tutti i punti in cui 2x > 0 è crescente. Sono semplici disequazioni, quindi otteniamo gli intervalli (−∞; 0) per la decrescenza e (0; +∞) per la crescita.