Funktionsundersøgelse: monotoniforhold

Når vi undersøger en funktions forløb, finder vi blandt andet også ud af, i hvilke intervaller funktionen er strengt voksende eller strengt aftagende. Til det har vi god brug for funktionens differentialkvotient.

Sådan finder du en funktions monotoniforhold

Tangentens hældningskoefficient i et punkt, altså funktionens differentialkvotient i punktet, fortæller os mere om funktionen, end man skulle tro. Se først på den følgende figur:

Hvad kan vi nu lægge mærke til — hvis funktionen er strengt aftagende i et givet punkt, så aftager tangenten også i dette punkt (mere præcist aftager den funktion, som ville beskrive den givne tangent). Det ses ved tangenten b. Funktionen x² + 1 er strengt aftagende i punktet B, og tangenten b er også strengt aftagende. Omvendt er tangenten a strengt voksende, og vi ser, at funktionen x² + 1 også er strengt voksende i punktet A. Den tredje tangent c er parallel med x-aksen, og vi ser, at der på dette sted er et ekstremum — konkret et minimum.

Det er ting, man kan se ved første øjekast, men det skal præciseres endnu mere. Vi starter med strengt voksende og strengt aftagende funktioner. Hvis funktionens tangent i et punkt er strengt voksende, så er funktionen også strengt voksende i dette punkt. Hvornår er en tangent strengt voksende? En tangent er strengt voksende, hvis den vinkel, den danner med den positive x-akse, ligger i intervallet ]0; 90[ grader. En tangent er strengt aftagende, hvis den vinkel, den danner med den positive x-akse, ligger i intervallet ]90; 180[ grader. Se på den følgende figur:

Vinklen α er helt sikkert mindre end 90 grader, og tangenten er strengt voksende. Vinklen β er større end 90 grader, og tangenten aftager. Det burde være klart. Nu tilbage til tangens. Vi må repetere, hvordan man beregner tangens. Til det får vi brug for enhedscirklen. På enhedscirklen afsætter vi de vinkler, vi ønsker, og enhedscirklen giver os efter nogle regler værdierne af de trigonometriske funktioner. Værdien af tangens vises som y-koordinaten til skæringspunktet mellem vinklens ben og den linje, der er vinkelret på x-aksen i punktet (1, 0). Figuren følger:

På figuren har vi den blå enhedscirkel og to linjer, den røde linje a og den grønne linje b. Disse linjer danner med den positive x-akse vinklerne α og β. Af figuren kan vi nemt aflæse tangens til disse vinkler: Vi tegner linjen p vinkelret på x-aksen i punktet (1, 0). Det er den grå linje. Tangens til vinklen α er så lig med y-koordinaten til skæringspunktet mellem den røde linje a og den grå linje p. Sagt på en anden måde: Tangens til vinklen α er lig med længden af linjestykket |BP|.

Det samme gælder for linjen b og vinklen β. Tangens til vinklen β er lig med y-koordinaten til skæringspunktet mellem linjen b og linjen p. Eller med andre ord den negative længde af linjestykket CP.

Som du kan se, bliver tan(α) positiv, mens tan(β) er negativ. Og det er det, vi ledte efter. Som det ses af figuren, gælder det, at hvis vinklen ligger i intervallet ]0; 90[, hvilket vinklen α gør, så er tangens til denne vinkel positiv, og hvis den ligger i intervallet ]90; 180[, hvilket vinklen β gør, så er den negativ.

Hvordan ville vi nu enkelt finde ud af, hvilken vinkel tangenten i et givet punkt danner med den positive x-akse? Ved hjælp af differentialkvotienter. Funktionens differentialkvotient giver os tangentens hældningskoefficient i det givne punkt, og tangentens hældningskoefficient er netop tangens til den vinkel, som tangenten danner med den positive x-akse. Med andre ord, hvis funktionens første afledede er positiv i et givet punkt, så er funktionen strengt voksende. Hvis den er negativ, så er den strengt aftagende.

Hvis f′(x) > 0, så er funktionen f strengt voksende i punktet x. Hvis f′(x) < 0, så er funktionen f strengt aftagende i punktet x.

Eksempel: Vi tager igen funktionen f(x) = x² til hjælp. Vi ved, at differentialkvotienten af denne funktion er funktionen f′(x) = 2x. For alle punkter, for hvilke der gælder 2x < 0, er funktionen strengt aftagende, og for alle 2x > 0 er funktionen strengt voksende. Det er simple uligheder, så vi får intervallerne ]−∞; 0[ for strengt aftagende og ]0; ∞[ for strengt voksende.