Vektorialiavaruus

Vektorialiavaruus on jonkin vektoriavaruuden osajoukko, joka on edelleen suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen.

Määritelmä

Olkoon annettuna jokin vektoriavaruus V. Vektorialiavaruus W olisi silloin jokin avaruuden V osajoukko, ja joukon W pitäisi samalla olla vektoriavaruus. Epätyhjän osajoukon W ⊆ V täytyy siis toteuttaa nämä kaksi ehtoa, jotta se on avaruuden V vektorialiavaruus: kaikille x, y ∈ W ja jokaiselle a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Joukosta V täytyy siis valita sellainen osajoukko, että nämä vektorit ovat suljettuja yhteen- ja kertolaskun suhteen.

Avaruuden R³ aliavaruus

Otetaan avaruus ℝ³ ja etsitään jokin aliavaruus.

1. Entä esimerkiksi kaikki muotoa (a, a, a) olevat kolmikot, missä a ∈ ℝ. Siis kolmikot kuten $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ tai (−π, −π, −π). Tällainen aliavaruus, merkitään sitä W₁, olisi avaruuden ℝ³ osajoukko, eli W₁ ⊆ ℝ³, koska ℝ³ sisältää yksinkertaisesti kaikki kolmikot.

Tällainen avaruus olisi suljettu vektorien yhteenlaskun suhteen, koska

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Kahden vektorin yhteenlaskun jälkeen saataisiin uusi vektori, jossa on taas kolme samaa komponenttia, ja tällainen vektori kuuluu joukkoon W₁. Joukko W₁ toteuttaa siis vektorialiavaruuden ensimmäisen ehdon. Toteuttaako se toisen ehdon?

Toteuttaa, koska k-kertainen muuttaa taas vektorin kaikkia kolmea komponenttia, mutta muuttaa ne täsmälleen samalla tavalla:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Saadaan taas vektori, jonka kaikki kolme komponenttia ovat samat, ja tällainen vektori on joukossa W₁. Joukko W₁ on siis avaruuden ℝ³ vektorialiavaruus.

• Voidaan kokeilla ottaa kaikki kolmikot (a, b, c), joille a, b, c ∈ [−1, 1]. Merkitään tätä joukkoa W₂, ja sen alkioita ovat esimerkiksi kolmikot $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ tai $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Ovatko joukon W₂ alkiot suljettuja yhteenlaskun suhteen? Eivät varmasti ole, koska $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ on kolmikko $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, joka ei kuulu joukkoon W₂. Joukko W₂ ei siis muodosta avaruuden ℝ³ aliavaruutta, eikä joukko W₂ muodosta lainkaan avaruutta.

• Otetaan nyt kaikki muotoa (a, 0, b) olevat kolmikot, missä a, b ∈ ℝ. Ne ovat kaikki kolmikot, joiden toinen komponentti on nolla. Merkitään tätä joukkoa W₃. Onko tämä joukko suljettu yhteenlaskun suhteen? On, koska

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Tulos on kolmikko (a + c, 0, b + d), jonka toinen komponentti on nolla ja kaksi muuta ovat reaalilukuja. Tämä kolmikko on varmasti joukossa W₃. Onko W₃ suljettu kertolaskun suhteen? On, koska

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Saadaan taas kolmikko (k · a, 0, k · b), jonka toinen komponentti on aina nolla ja muut komponentit ovat reaalilukuja. Tällainen kolmikko on joukon W₃ alkio. Joukko W₃ muodostaa siis avaruuden ℝ³ aliavaruuden. Huomataan, että jos kolmikot olisivat muotoa (a, b, 0) tai (a, 0, 0), nekin muodostaisivat vektorialiavaruuden.

Polynomien aliavaruus

Edellisessä artikkelissa näytettiin polynomeista koostuva vektoriavaruus. Kertauksena: polynomi on lauseke, joka on muotoa

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Oletetaan, että a_n ≠ 0. Tällaisen polynomin aste on silloin täsmälleen luku n. Reaalilukuja a₀, …, a_n sanotaan polynomin kertoimiksi. Esimerkki polynomista on lauseke 4 + 3x − 7x². Yritetään löytää jokin vektorialiavaruus. Olkoon siis vektoriavaruus P(x) kaikkien polynomien joukko.

1. Kokeillaan ensin kaikkien astetta n olevien polynomien joukkoa, missä n ≥ 0, merkitään tätä joukkoa W₁. Edellisessä artikkelissa todettiin jo, että se ei ole lainkaan vektoriavaruus, joten tuskin se on avaruuden P(x) vektorialiavaruus. Kerrataan siis, että kun esimerkiksi joukon W₁ polynomi kerrotaan nollalla, saadaan polynomi p(x) = 0, jonka aste on määritelmän mukaan −1. Tämä alkio ei siis varmasti ole missään joukossa W₁.

2. Kokeillaan joukoksi W₂ ottaa kaikki astetta n olevat ja sitä pienemmät polynomit. Kun siis n = 2, joukossa W₂ ovat kaikki polynomit, joiden aste on 2, 1, 0, −1. Onko tämä joukko suljettu yhteenlaskun suhteen? On, koska kahden astetta n olevan polynomin summan aste ei koskaan ole suurempi kuin n, se voi olla vain pienempi. Samoin tämä joukko on suljettu kertolaskun suhteen, koska polynomin p(x) mikä tahansa k-kertainen voi olla joko samaa astetta oleva polynomi tai nollapolynomi. Molemmat vaihtoehdot sisältyvät joukkoon W₂, joten W₂ muodostaa avaruuden P(X) aliavaruuden.

Aliavaruuksien perusominaisuudet

Olkoon annettuna vektoriavaruus V ja kaksi sen aliavaruutta W₁ ja W₂. Silloin pätee, että

1. Leikkaus W₁ ∩ W₂ on avaruuden V vektorialiavaruus.

   Olkoon vektoriavaruus ℝ³ ja aliavaruudet W₁ ja W₂ sellaiset, että W₁ koostuu muotoa (a, b, 0) olevista kolmikoista ja W₂ muotoa (a, 0, b) olevista kolmikoista, missä a, b ∈ ℝ. Leikkaus W₁ ∩ W₂ on silloin joukko, joka sisältää muotoa (a, 0, 0) olevat kolmikot – tällainen joukko on selvästi avaruuden ℝ³ aliavaruus.

   Se ei kuitenkaan tietenkään ole todistus. Todistus olisi tällainen: otetaan mielivaltainen vektoriavaruus V ja sen kaksi aliavaruutta W₁ ja W₂. Halutaan todistaa, että kaikille x, y ∈ W₁ ∩ W₂ pätee x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Koska vektorit x ja y kuuluvat leikkaukseen W₁ ∩ W₂, täytyy varmasti päteä, että x, y ∈ W₁ ja samalla x, y ∈ W₂ (tämä pätee joukkojen leikkauksen määritelmän nojalla). Koska W₁ ja W₂ ovat samalla vektoriavaruuksia, täytyy päteä myös x + y ∈ W₁ ja samalla täytyy päteä x + y ∈ W₂ (tämä pätee vektoriavaruuksien määritelmän nojalla). Nyt on kuitenkin x + y ∈ W₁ ja samalla x + y ∈ W₂, mistä seuraa, että x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (taas leikkauksen määritelmän perusteella – jos alkio on joukossa W₁ ja myös joukossa W₂, sen täytyy olla myös niiden leikkauksessa).

   Lisäksi täytyy tarkistaa kertolaskun suhteen suljettuus. Täytyy todistaa, että kaikille k ∈ ℝ ja x ∈ W₁ ∩ W₂ pätee k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Menettely on sama. Koska x ∈ W₁ ∩ W₂, on samalla x ∈ W₁ ja x ∈ W₂. Koska W₁ ja W₂ ovat avaruuksia, on k · x ∈ W₁ ja samalla k · x ∈ W₂ ja siis k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Yhdiste W₁ ∪ W₂ ei välttämättä ole avaruuden V aliavaruus.

   Toisen ominaisuuden todistamiseen riittää löytää sopiva vastaesimerkki. Tyydytään edellisiin avaruuksiin W₁ ja W₂, joissa on muotoa (a, b, 0) ja vastaavasti (a, 0, b) olevat kolmikot. Kun muodostetaan niiden yhdiste, saadaan kaikki kolmikot, joiden toisella tai kolmannella paikalla täytyy olla nolla. Vektorit (1, 0, 1) ja (1, 1, 0) ovat siis varmasti yhdisteessä W₁ ∪ W₂. Niiden summa on kuitenkin vektori (2, 1, 1), jossa ei ole nollaa missään. Tämä vektori ei ole joukossa W₁ eikä joukossa W₂, joten se ei voi olla myöskään joukossa W₁ ∪ W₂. Löydettiin siis kaksi vektoria, joiden summa ei kuulu samaan joukkoon, joten kyseessä ei voi olla vektoriavaruus.