Sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel est une partie d’un espace vectoriel qui reste stable par addition et par multiplication par un scalaire.

Définition

Soit V un espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel W serait alors une partie de l’espace V, l’ensemble W étant lui-même un espace vectoriel. Une partie non vide W ⊂ V doit donc vérifier les deux conditions suivantes pour être un sous-espace vectoriel de l’espace V : pour tous x, y ∈ W et pour tout a ∈ ℝ :

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Nous devons donc choisir dans V une partie telle que ces vecteurs soient stables par addition et par multiplication.

Sous-espace de l’espace ℝ³

Essayons de prendre l’espace ℝ³ et de trouver un sous-espace.

1. Que dire, par exemple, de tous les triplets de la forme (a ; a ; a), où a ∈ ℝ ? C’est-à-dire des triplets comme $(1;1;1),(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ ou (−π ; −π ; −π). Un tel sous-espace, notons-le W₁, serait une partie de l’espace ℝ³, c’est-à-dire W₁ ⊂ ℝ³, puisque ℝ³ contient simplement tous les triplets.

Un tel espace serait stable par l’addition de vecteurs, car

$$(a;a;a)+(b;b;b)=(a+b;a+b;a+b).$$

Après addition de deux vecteurs, on obtiendrait un nouveau vecteur qui aurait encore trois composantes égales, et un tel vecteur appartient à l’ensemble W₁. L’ensemble W₁ vérifie donc la première condition d’un sous-espace vectoriel. Mais vérifie-t-il la seconde ?

Oui, car la multiplication par k change de nouveau les trois composantes du vecteur, mais exactement de la même façon :

$$k\cdot (a;a;a)=(k\cdot a;k\cdot a;k\cdot a).$$

On obtient de nouveau un vecteur dont les trois composantes sont égales, et un tel vecteur est dans l’ensemble W₁. L’ensemble W₁ est donc un sous-espace vectoriel de ℝ³.

• Essayons de prendre tous les triplets (a ; b ; c) tels que a, b, c ∈ [−1 ; 1]. Nous notons cet ensemble W₂ ; ses éléments sont par exemple les triplets $(\frac{1}{2};-\frac{2}{7};\frac{8}{9})$ ou $(0;\frac{\pi }{4};1)$. Les éléments de W₂ sont-ils stables par addition ? Certainement pas, car $(1;1;1)+(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4})$ est égal au triplet $(\frac{3}{2};\frac{4}{3};\frac{5}{4})$, qui n’appartient pas à W₂. L’ensemble W₂ ne forme donc pas un sous-espace de l’espace ℝ³ ; l’ensemble W₂ ne forme même pas un espace.

• Prenons maintenant tous les triplets de la forme (a ; 0 ; b), où a, b ∈ ℝ. Ce sont tous les triplets dont la deuxième composante est nulle. Notons cet ensemble W₃. Cet ensemble est-il stable par addition ? Oui, car

$$(a;0;b)+(c;0;d)=(a+c;0;b+d)$$

Le résultat est le triplet (a + c ; 0 ; b + d), dont la deuxième composante est nulle et dont les deux autres sont des nombres réels. Ce triplet est certainement dans W₃. W₃ est-il stable par multiplication ? Oui, car

$$k\cdot (a;0;b)=(k\cdot a;0;k\cdot b)$$

On obtient de nouveau le triplet (k · a ; 0 ; k · b), dont la deuxième composante est toujours nulle et dont les autres composantes sont des nombres réels. Un tel triplet est un élément de W₃. L’ensemble W₃ forme donc un sous-espace de l’espace ℝ³. Remarquons que si les triplets avaient la forme (a ; b ; 0) ou (a ; 0 ; 0), ils formeraient eux aussi un sous-espace vectoriel.

Sous-espace des polynômes

Dans l’article précédent, nous avons présenté l’espace vectoriel formé de polynômes. Pour rappel : un polynôme est une expression de la forme

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

On suppose que a_n ≠ 0. Le degré d’un tel polynôme est alors exactement le nombre n. Les nombres réels a₀, …, a_n s’appellent les coefficients du polynôme. Un exemple de polynôme est l’expression 4 + 3x − 7x². Essayons de trouver un sous-espace vectoriel. Soit donc l’espace vectoriel P(x) de tous les polynômes.

1. Essayons d’abord l’ensemble de tous les polynômes de degré n, où n ≥ 0, notons cet ensemble W₁. Dans l’article précédent, nous avons déjà indiqué que ce n’est pas du tout un espace vectoriel, donc ce sera difficilement un sous-espace vectoriel de l’espace P(x). Rappelons que, si on multiplie par exemple un polynôme de W₁ par zéro, on obtient le polynôme p(x) = 0, qui, par définition, est de degré −1. Cet élément n’est donc dans aucun W₁.

2. Prenons pour W₂ tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n. Ainsi, pour n = 2, W₂ contiendra tous les polynômes de degré 2, 1, 0, −1. Cet ensemble est-il stable par addition ? Oui, car la somme de deux polynômes de degré n n’aura jamais un degré supérieur à n, elle peut seulement être plus petite. De même, cet ensemble est stable par multiplication, car le produit d’un polynôme p(x) par un nombre k quelconque peut donner soit un polynôme de même degré, soit le polynôme nul. L’ensemble W₂ couvre les deux possibilités, donc W₂ forme un sous-espace de l’espace P(X).

Propriétés fondamentales des sous-espaces

Soit V un espace vectoriel et W₁ et W₂ deux de ses sous-espaces. Alors

1. L’intersection W₁ ∩ W₂ est un sous-espace vectoriel de V.

   Prenons l’espace vectoriel ℝ³ et des sous-espaces W₁ et W₂ tels que W₁ est formé des triplets de la forme (a ; b ; 0) et W₂ des triplets de la forme (a ; 0 ; b), où a, b ∈ ℝ. L’intersection W₁ ∩ W₂ sera donc l’ensemble des triplets de la forme (a ; 0 ; 0) – un tel ensemble est manifestement un sous-espace de l’espace ℝ³.

   Mais ce n’est bien sûr pas une démonstration. La voici : prenons un espace vectoriel quelconque V et deux de ses sous-espaces W₁ et W₂. Nous voulons démontrer que, pour tous x, y ∈ W₁ ∩ W₂, on a x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Comme les vecteurs x et y sont dans l’intersection W₁ ∩ W₂, on a certainement x, y ∈ W₁ et en même temps x, y ∈ W₂ (c’est vrai par définition de l’intersection d’ensembles). Comme W₁ et W₂ sont aussi des espaces vectoriels, on a nécessairement x + y ∈ W₁ et en même temps x + y ∈ W₂ (c’est vrai d’après la définition des espaces vectoriels). Mais nous avons maintenant x + y ∈ W₁ et en même temps x + y ∈ W₂, d’où l’on déduit que x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (de nouveau d’après la définition de l’intersection d’ensembles – si un élément est dans l’ensemble W₁ et aussi dans l’ensemble W₂, il doit être aussi dans leur intersection).

   Nous devons ensuite vérifier la stabilité par multiplication. Nous devons démontrer que, pour tous k ∈ ℝ et x ∈ W₁ ∩ W₂, on a k · x ∈ W₁ ∩ W₂. La méthode est la même. Comme x ∈ W₁ ∩ W₂, on a en même temps x ∈ W₁ et x ∈ W₂. Comme W₁ et W₂ sont des espaces, k · x ∈ W₁ et en même temps k · x ∈ W₂, et donc k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. La réunion W₁ ∪ W₂ n’est pas nécessairement un sous-espace de V.

   Pour démontrer la deuxième propriété, il suffit de trouver un contre-exemple approprié. Nous nous contentons des espaces précédents W₁ et W₂, formés respectivement des triplets de la forme (a ; b ; 0) et (a ; 0 ; b). Si on en fait la réunion, on obtient tous les triplets qui doivent avoir un zéro à la deuxième ou à la troisième place. Les vecteurs (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 1 ; 0) sont donc certainement dans la réunion W₁ ∪ W₂. Mais leur somme est égale au vecteur (2 ; 1 ; 1), qui n’a de zéro nulle part. Ce vecteur n’est ni dans W₁ ni dans W₂, donc il ne peut pas être dans W₁ ∪ W₂. Nous avons ainsi trouvé deux vecteurs dont la somme n’appartient pas au même ensemble, donc il ne peut pas s’agir d’un espace vectoriel.