Untervektorraum

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die weiterhin unter Addition und Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist.

Definition

Sei V ein Vektorraum. Ein Untervektorraum W wäre dann eine Teilmenge des Raums V, wobei die Menge W selbst ein Vektorraum wäre. Eine nichtleere Teilmenge W ⊆ V muss also diese beiden Bedingungen erfüllen, damit sie ein Untervektorraum von V ist: für alle x, y ∈ W und für jedes a ∈ ℝ gilt:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Wir müssen also aus V eine solche Teilmenge auswählen, dass diese Vektoren unter Addition und Multiplikation abgeschlossen sind.

Untervektorräume des Raums R³

Wir nehmen den Raum ℝ³ und suchen einen Untervektorraum.

1. Wie wäre es zum Beispiel mit allen Tripeln der Form (a, a, a), wobei a ∈ ℝ. Das sind Tripel wie $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ oder (−π, −π, −π). Ein solcher Untervektorraum, nennen wir ihn W₁, wäre eine Teilmenge des Raums ℝ³, d. h. W₁ ⊆ ℝ³, denn ℝ³ enthält ja alle Tripel.

Ein solcher Raum wäre bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen, denn

$$[a,a,a]+[b,b,b]=[a+b,a+b,a+b].$$

Nach der Addition zweier Vektoren erhielten wir einen neuen Vektor, der wieder drei gleiche Komponenten hätte, und ein solcher Vektor ist in der Menge W₁ enthalten. Die Menge W₁ erfüllt also die erste Bedingung für einen Untervektorraum. Erfüllt sie aber auch die zweite Bedingung?

Ja, denn das k-Fache verändert wieder alle drei Komponenten des Vektors, und zwar völlig gleich:

$$k\cdot [a,a,a]=[k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a].$$

Wir erhalten wieder einen Vektor, dessen drei Komponenten gleich sind, und ein solcher Vektor liegt in der Menge W₁. Die Menge W₁ ist also ein Untervektorraum von ℝ³.

• Wir können versuchen, alle Tripel (a, b, c) zu nehmen, für die a, b, c ∈ [−1; 1] gilt. Diese Menge bezeichnen wir mit W₂, und ihre Elemente sind zum Beispiel die Tripel $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ oder $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Sind die Elemente von W₂ unter der Addition abgeschlossen? Ganz sicher nicht, denn $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ ergibt das Tripel $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, das nicht zu W₂ gehört. Die Menge W₂ bildet also keinen Untervektorraum von ℝ³, die Menge W₂ bildet überhaupt keinen Vektorraum.

• Nun nehmen wir alle Tripel der Form (a, 0, b), wobei a, b ∈ ℝ. Das sind alle Tripel, deren zweite Komponente null ist. Diese Menge bezeichnen wir mit W₃. Ist diese Menge unter der Addition abgeschlossen? Ja, denn

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Das Ergebnis ist das Tripel (a + c, 0, b + d), dessen zweite Komponente null ist und dessen übrige zwei Komponenten reelle Zahlen sind. Dieses Tripel liegt sicher in W₃. Ist W₃ unter der Multiplikation abgeschlossen? Ja, denn

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Wir erhalten wieder das Tripel (k · a, 0, k · b), dessen zweite Komponente immer null ist und dessen übrige Komponenten reelle Zahlen sind. Ein solches Tripel ist ein Element von W₃. Die Menge W₃ bildet also einen Untervektorraum von ℝ³. Beachte, dass auch Tripel der Form (a, b, 0) oder (a, 0, 0) einen Untervektorraum bilden würden.

Untervektorräume der Polynome

Im vorigen Artikel haben wir den Vektorraum der Polynome gezeigt. Zur Wiederholung: Ein Polynom ist ein Term der Form

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Wir setzen voraus, dass a_n ≠ 0. Der Grad eines solchen Polynoms ist dann genau die Zahl n. Die reellen Zahlen a₀, …, a_n nennen wir Koeffizienten des Polynoms. Ein Beispiel für ein Polynom ist der Term 4 + 3x − 7x². Wir versuchen, einen Untervektorraum zu finden. Sei also P(x) der Vektorraum aller Polynome.

1. Zuerst versuchen wir die Menge aller Polynome vom Grad n, wobei n ≥ 0, diese Menge bezeichnen wir mit W₁. Im vorigen Artikel haben wir schon festgestellt, dass das überhaupt kein Vektorraum ist, also wird es kaum ein Untervektorraum von P(x) sein. Wiederholen wir: Multiplizieren wir zum Beispiel ein Polynom aus W₁ mit null, erhalten wir das Polynom p(x) = 0, das per Definition den Grad −1 hat. Dieses Element liegt also in keinem W₁.

2. Für W₂ versuchen wir, alle Polynome vom Grad n und kleiner zu nehmen. Für n = 2 liegen also in W₂ alle Polynome vom Grad 2, 1, 0, −1. Ist diese Menge unter der Addition abgeschlossen? Ja, denn die Summe zweier Polynome vom Grad n wird nie einen größeren Grad als n haben, sie kann nur einen kleineren haben. Ebenso ist diese Menge unter der Multiplikation abgeschlossen, denn jedes k-Fache eines Polynoms p(x) kann entweder ein Polynom desselben Grades oder das Nullpolynom ergeben. Beide Möglichkeiten deckt die Menge W₂ ab, also bildet W₂ einen Untervektorraum von P(X).

Grundlegende Eigenschaften von Untervektorräumen

Sei V ein Vektorraum und seien W₁ und W₂ zwei seiner Untervektorräume. Dann gilt:

1. Der Schnitt W₁ ∩ W₂ ist ein Untervektorraum von V.

   Sei ℝ³ der Vektorraum und seien W₁ und W₂ Untervektorräume, wobei W₁ aus den Tripeln der Form (a, b, 0) und W₂ aus den Tripeln der Form (a, 0, b) besteht, mit a, b ∈ ℝ. Der Schnitt W₁ ∩ W₂ ist dann die Menge der Tripel der Form (a, 0, 0) – eine solche Menge ist offensichtlich ein Untervektorraum von ℝ³.

   Das ist aber natürlich kein Beweis. Der sähe so aus: Wir nehmen einen beliebigen Vektorraum V und zwei seiner Untervektorräume W₁ und W₂. Wir wollen nun beweisen, dass für alle x, y ∈ W₁ ∩ W₂ gilt: x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Da die Vektoren x und y im Schnitt W₁ ∩ W₂ enthalten sind, muss sicher gelten, dass x, y ∈ W₁ und zugleich x, y ∈ W₂ (das gilt nach der Definition des Schnitts von Mengen). Da W₁ und W₂ zugleich Vektorräume sind, muss auch x + y ∈ W₁ gelten und zugleich x + y ∈ W₂ (das gilt nach der Definition der Vektorräume). Nun haben wir aber x + y ∈ W₁ und zugleich x + y ∈ W₂, woraus folgt, dass x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (wieder aufgrund der Definition des Schnitts von Mengen – liegt ein Element in der Menge W₁ und auch in der Menge W₂, muss es auch in ihrem Schnitt liegen).

   Weiter müssen wir die Abgeschlossenheit der Multiplikation überprüfen. Wir müssen beweisen, dass für alle k ∈ ℝ und x ∈ W₁ ∩ W₂ gilt: k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Das Vorgehen ist dasselbe. Da x ∈ W₁ ∩ W₂, gilt zugleich x ∈ W₁ und x ∈ W₂. Da W₁ und W₂ Räume sind, gilt k · x ∈ W₁ und zugleich k · x ∈ W₂ und somit k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Die Vereinigung W₁ ∪ W₂ muss nicht unbedingt ein Untervektorraum von V sein.

   Um die zweite Eigenschaft zu beweisen, genügt es, ein geeignetes Gegenbeispiel zu finden. Wir kommen mit den vorherigen Räumen W₁ und W₂ aus, die Tripel der Form (a, b, 0) bzw. (a, 0, b) enthalten. Bilden wir ihre Vereinigung, erhalten wir alle Tripel, die an der zweiten oder dritten Stelle eine Null haben müssen. Die Vektoren (1, 0, 1) und (1, 1, 0) liegen also sicher in der Vereinigung W₁ ∪ W₂. Ihre Summe ist aber gleich dem Vektor (2, 1, 1), und das ist ein Vektor, der nirgends eine Null hat. Dieser Vektor liegt weder in W₁ noch in W₂, kann also auch nicht in W₁ ∪ W₂ liegen. Wir haben also zwei Vektoren gefunden, deren Summe nicht in derselben Menge liegt, also kann es sich nicht um einen Vektorraum handeln.