Underrom

Et underrom (vektorunderrom) er en delmengde av et vektorrom som fortsatt er lukket under addisjon og multiplikasjon med en skalar.

Definisjon

La oss si at vi har et vektorrom V. Et underrom W ville da være en delmengde av rommet V, der mengden W samtidig er et vektorrom. En delmengde W ⊆ V som ikke er tom, må altså oppfylle disse to betingelsene for at den skal være et underrom av rommet V: for alle x, y ∈ W og for hvert a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Vi må altså velge en slik delmengde av V at disse vektorene er lukket under addisjon og multiplikasjon.

Underrom av rommet R³

Vi prøver å ta rommet ℝ³ og finner et underrom.

1. Hva med for eksempel alle tripler på formen (a, a, a), der a ∈ ℝ. Altså tripler som $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ eller (−π, −π, −π). Et slikt underrom, la oss kalle det W₁, ville være en delmengde av rommet ℝ³, altså W₁ ⊆ ℝ³, for ℝ³ inneholder rett og slett alle tripler.

Et slikt rom ville være lukket under operasjonen addisjon av vektorer, for

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Etter å ha addert to vektorer ville vi fått en ny vektor som igjen har tre like komponenter, og en slik vektor er med i mengden W₁. Mengden W₁ oppfyller altså den første betingelsen for et underrom. Men oppfyller den den andre betingelsen?

Ja, det gjør den, for k ganger vektoren endrer igjen alle tre komponentene i vektoren, men endrer dem helt likt:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Vi får igjen en vektor som har alle tre komponentene like, og en slik vektor er i mengden W₁. Mengden W₁ er altså et underrom av ℝ³.

• Vi kan prøve å ta alle tripler (a, b, c) slik at a, b, c ∈ [−1, 1]. Denne mengden kaller vi W₂, og elementene er for eksempel triplene $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ eller $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Er elementene i W₂ lukket under addisjon? Det er de sikkert ikke, for $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ er lik triplet $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, som ikke hører til W₂. Mengden W₂ danner altså ikke et underrom av rommet ℝ³, mengden W₂ danner ikke noe rom i det hele tatt.

• Nå tar vi alle tripler på formen (a, 0, b), der a, b ∈ ℝ. Det er alle tripler som har den andre komponenten lik null. La oss kalle denne mengden W₃. Er denne mengden lukket under addisjon? Ja, det er den, for

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Resultatet er triplet (a + c, 0, b + d), som har den andre komponenten lik null og reelle tall på de to andre. Dette triplet er sikkert i W₃. Er W₃ lukket under multiplikasjon? Ja, det er den, for

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Vi får igjen triplet (k · a, 0, k · b), som alltid har den andre komponenten lik null, og de andre komponentene er reelle tall. Et slikt tripel er et element i W₃. Mengden W₃ danner altså et underrom av rommet ℝ³. Legg merke til at hvis triplene hadde formen (a, b, 0) eller (a, 0, 0), ville de også danne et underrom.

Underrom av polynomer

I forrige artikkel viste vi et vektorrom bestående av polynomer. Som repetisjon: et polynom er et uttrykk på formen

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Vi antar at a_n ≠ 0. Graden til et slikt polynom er da nettopp tallet n. De reelle tallene a₀, …, a_n kaller vi koeffisientene til polynomet. Et eksempel på et polynom kan være uttrykket 4 + 3x − 7x². Vi prøver å finne et underrom. La oss si at vi har vektorrommet P(x) av alle polynomer.

1. Først prøver vi mengden av alle polynomer av grad n, der n ≥ 0, la oss kalle denne mengden W₁. I forrige artikkel sa vi allerede at dette ikke er noe vektorrom i det hele tatt, så det blir vanskelig å være et underrom av rommet P(x). La oss gjenta at hvis vi for eksempel multipliserer et polynom i W₁ med null, får vi polynomet p(x) = 0, som per definisjon har grad −1. Dette elementet er sikkert ikke i noen W₁.

2. Vi prøver å ta for W₂ alle polynomer av grad n og lavere. Så for n = 2 vil det i W₂ være alle polynomer av grad 2, 1, 0, −1. Er denne mengden lukket under addisjon? Ja, det er den, for summen av to polynomer av grad n blir aldri større enn n, den kan bare bli mindre. På samme måte er denne mengden lukket under multiplikasjon, for et hvilket som helst k ganger polynomet p(x) kan ha som resultat enten et polynom av samme grad eller nullpolynomet. Begge mulighetene dekkes av mengden W₂, så W₂ danner et underrom av rommet P(X).

Grunnleggende egenskaper ved underrom

La oss si at vi har et vektorrom V og to underrom av det, W₁ og W₂. Da gjelder at

1. Snittet W₁ ∩ W₂ er et underrom av V.

   La oss si at vi har vektorrommet ℝ³ og underrommene W₁ og W₂ slik at W₁ består av tripler på formen (a, b, 0) og W₂ av tripler på formen (a, 0, b), der a, b ∈ ℝ. Snittet W₁ ∩ W₂ blir altså mengden som inneholder tripler på formen (a, 0, 0) — en slik mengde er åpenbart et underrom av rommet ℝ³.

   Men det er selvfølgelig ikke noe bevis. Beviset ville se slik ut: vi tar et vilkårlig vektorrom V og to underrom W₁ og W₂ av det. Nå vil vi bevise at det for alle x, y ∈ W₁ ∩ W₂ gjelder at x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Siden vektorene x og y er med i snittet W₁ ∩ W₂, må det sikkert gjelde at x, y ∈ W₁ og samtidig x, y ∈ W₂ (det gjelder av definisjonen av snittet av mengder). Siden W₁ og W₂ samtidig er vektorrom, må det også gjelde at x + y ∈ W₁ og samtidig må x + y ∈ W₂ gjelde (det gjelder av definisjonen av vektorrom). Nå har vi imidlertid at x + y ∈ W₁ og samtidig x + y ∈ W₂, og av det følger det at x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (igjen på grunnlag av definisjonen av snitt av mengder — hvis et element ligger i mengden W₁ og også ligger i mengden W₂, må det også ligge i snittet av dem).

   Videre må vi kontrollere at multiplikasjon er lukket. Vi må bevise at det for alle k ∈ ℝ og x ∈ W₁ ∩ W₂ gjelder at k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Framgangsmåten blir den samme. Siden x ∈ W₁ ∩ W₂, er samtidig også x ∈ W₁ og x ∈ W₂. Siden W₁ og W₂ er rom, er k · x ∈ W₁ og samtidig k · x ∈ W₂, og altså k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Unionen W₁ ∪ W₂ trenger ikke nødvendigvis å være et underrom av V.

   For å bevise den andre egenskapen er det nok å finne et passende moteksempel. Vi klarer oss med de foregående rommene W₁ og W₂, som har tripler på formen (a, b, 0), henholdsvis (a, 0, b). Hvis vi tar unionen av dem, får vi alle tripler som må ha null på den andre eller den tredje plassen. Vektorene (1, 0, 1) og (1, 1, 0) er altså sikkert i unionen W₁ ∪ W₂. Summen av dem er imidlertid lik vektoren (2, 1, 1), som er en vektor som ikke har null noe sted. Denne vektoren er verken i W₁ eller i W₂, så den kan heller ikke være i W₁ ∪ W₂. Vi har altså funnet to vektorer hvis sum ikke hører til den samme mengden, så det kan ikke være et vektorrom.