Subespacio vectorial

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que sigue siendo cerrado para la suma y la multiplicación por un escalar.

Definición

Sea V un espacio vectorial. Un subespacio vectorial W sería entonces un subconjunto del espacio V tal que el conjunto W fuera, al mismo tiempo, un espacio vectorial. Así, un subconjunto no vacío W ⊆ V debe cumplir estas dos condiciones para ser un subespacio vectorial del espacio V: para todos los x, y ∈ W y para todo a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Tenemos que elegir, pues, un subconjunto de V tal que sus vectores sean cerrados para la suma y la multiplicación.

Subespacio del espacio R³

Tomemos el espacio ℝ³ y busquemos algún subespacio.

1. ¿Qué tal todas las ternas de la forma (a, a, a), donde a ∈ ℝ? Es decir, ternas como $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ o (−π, −π, −π). Un subespacio así, al que llamaremos W₁, sería un subconjunto del espacio ℝ³, es decir, W₁ ⊆ ℝ³, porque ℝ³ contiene todas las ternas.

Este espacio sería cerrado para la operación de suma de vectores, porque

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Al sumar dos vectores obtendríamos un nuevo vector con otra vez tres componentes iguales, y un vector así está contenido en el conjunto W₁. El conjunto W₁ cumple, por tanto, la primera condición del subespacio vectorial. ¿Cumple también la segunda?

Sí, la cumple, porque el producto por k cambia las tres componentes del vector, pero las cambia exactamente igual:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Obtenemos de nuevo un vector con las tres componentes iguales, y un vector así está en el conjunto W₁. El conjunto W₁ es, por tanto, un subespacio vectorial de ℝ³.

• Podemos probar a tomar todas las ternas (a, b, c) tales que a, b, c ∈ [−1, 1]. Llamaremos W₂ a este conjunto, y sus elementos son, por ejemplo, las ternas $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ o $(0,\frac{\pi }{4},1)$. ¿Son cerrados para la suma los elementos de W₂? Seguro que no, porque $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ es igual a la terna $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, que no pertenece a W₂. El conjunto W₂ no forma, por tanto, un subespacio del espacio ℝ³; de hecho, W₂ no forma ningún espacio.

• Ahora tomemos todas las ternas de la forma (a, 0, b), donde a, b ∈ ℝ. Son todas las ternas cuya segunda componente es nula. Llamemos W₃ a este conjunto. ¿Es cerrado para la suma? Sí, lo es, porque

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

El resultado es la terna (a + c, 0, b + d), cuya segunda componente es nula y cuyas otras dos son números reales. Esta terna está sin duda en W₃. ¿Es W₃ cerrado para la multiplicación? Sí, lo es, porque

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

De nuevo obtenemos la terna (k · a, 0, k · b), cuya segunda componente es siempre nula y cuyas otras componentes son números reales. Una terna así es un elemento de W₃. El conjunto W₃ forma, pues, un subespacio del espacio ℝ³. Fíjate en que, si las ternas tuvieran la forma (a, b, 0) o (a, 0, 0), también formarían un subespacio vectorial.

Subespacio de polinomios

En el artículo anterior vimos un espacio vectorial formado por polinomios. Para repasar: un polinomio es una expresión de la forma

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Suponemos que a_n ≠ 0. El grado de un polinomio así es justamente el número n. Los números reales a₀, …, a_n se llaman coeficientes del polinomio. Un ejemplo de polinomio es la expresión 4 + 3x − 7x². Intentemos encontrar algún subespacio vectorial. Sea P(x) el espacio vectorial de todos los polinomios.

1. Primero probaremos con el conjunto de todos los polinomios de grado n, donde n ≥ 0; llamemos a este conjunto W₁. En el artículo anterior ya dijimos que ni siquiera es un espacio vectorial, así que difícilmente será un subespacio vectorial del espacio P(x). Repitámoslo: si, por ejemplo, multiplicamos por cero un polinomio de W₁, obtenemos el polinomio p(x) = 0, que por definición tiene grado −1. Este elemento no está, por tanto, en ningún W₁.

2. Probemos con W₂, formado por todos los polinomios de grado n o menor. Así, para n = 2, en W₂ estarán todos los polinomios de grado 2, 1, 0, −1. ¿Es este conjunto cerrado para la suma? Sí, lo es, porque la suma de dos polinomios de grado n nunca tendrá grado mayor que n, solo puede ser menor. Del mismo modo, este conjunto es cerrado para la multiplicación, porque cualquier producto de un polinomio p(x) por k puede dar como resultado un polinomio del mismo grado o el polinomio nulo. El conjunto W₂ abarca las dos posibilidades, así que W₂ forma un subespacio del espacio P(X).

Propiedades básicas de los subespacios

Sea V un espacio vectorial y sean W₁ y W₂ dos de sus subespacios. Entonces se cumple que

1. La intersección W₁ ∩ W₂ es un subespacio vectorial de V.

   Sea ℝ³ el espacio vectorial y sean W₁ y W₂ subespacios tales que W₁ está formado por las ternas de la forma (a, b, 0) y W₂ por las ternas de la forma (a, 0, b), donde a, b ∈ ℝ. La intersección W₁ ∩ W₂ será, por tanto, el conjunto de las ternas de la forma (a, 0, 0); un conjunto así es claramente un subespacio del espacio ℝ³.

   Pero esto, claro está, no es una demostración. Esta sería así: tomamos un espacio vectorial cualquiera V y dos de sus subespacios W₁ y W₂. Queremos demostrar que para todos los x, y ∈ W₁ ∩ W₂ se cumple que x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Como los vectores x e y están contenidos en la intersección W₁ ∩ W₂, tiene que cumplirse que x, y ∈ W₁ y, al mismo tiempo, x, y ∈ W₂ (esto se deduce de la definición de intersección de conjuntos). Como W₁ y W₂ son además espacios vectoriales, tiene que cumplirse también que x + y ∈ W₁ y, al mismo tiempo, x + y ∈ W₂ (esto se deduce de la definición de espacio vectorial). Ahora tenemos que x + y ∈ W₁ y, al mismo tiempo, x + y ∈ W₂, de lo cual se sigue que x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (de nuevo por la definición de intersección de conjuntos: si un elemento está en el conjunto W₁ y también en el conjunto W₂, tiene que estar en su intersección).

   A continuación tenemos que comprobar que es cerrado para la multiplicación. Tenemos que demostrar que para todos los k ∈ ℝ y x ∈ W₁ ∩ W₂ se cumple que k · x ∈ W₁ ∩ W₂. El procedimiento es el mismo. Como x ∈ W₁ ∩ W₂, también x ∈ W₁ y x ∈ W₂. Como W₁ y W₂ son espacios, k · x ∈ W₁ y, al mismo tiempo, k · x ∈ W₂, y por tanto k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. La unión W₁ ∪ W₂ no tiene por qué ser un subespacio de V.

   Para demostrar la segunda propiedad basta encontrar un contraejemplo adecuado. Nos servirán los espacios anteriores W₁ y W₂, formados por ternas de la forma (a, b, 0) y (a, 0, b) respectivamente. Si hacemos su unión, obtenemos todas las ternas que tienen un cero en la segunda o en la tercera posición. Así, los vectores (1, 0, 1) y (1, 1, 0) están sin duda en la unión W₁ ∪ W₂. Sin embargo, su suma es igual al vector (2, 1, 1), que no tiene ningún cero. Este vector no está ni en W₁ ni en W₂, así que tampoco puede estar en W₁ ∪ W₂. Hemos encontrado, pues, dos vectores cuya suma no pertenece al mismo conjunto, por lo que no puede tratarse de un espacio vectorial.