Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong thực tế, ta thường gặp trường hợp không chỉ giải một phương trình mà phải giải đồng thời hai phương trình (hoặc nhiều hơn). Trước hết, ta sẽ xem cách giải hệ phương trình như vậy bằng phương pháp thế. Để giải hệ phương trình bằng ma trận, xem bài hệ phương trình tuyến tính.

Kiến thức cơ bản

Hệ phương trình gồm nhiều phương trình được giải cùng nhau. Hệ phương trình thường cũng có nhiều hơn một biến, và ta tìm một bộ số sao cho khi thay vào tất cả các biến thì mọi phương trình đều đúng.

Ví dụ về một hệ phương trình là hệ sau:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Nghiệm của hệ này là một cặp số (hoặc một tập hợp các cặp số) thay vào các biến a và b sao cho cả hai phương trình đều đúng. Nhìn qua, ta thấy biến a phải bằng −b thì phương trình a + b = 0 mới đúng. Biết điều đó, từ phương trình thứ hai dễ thấy a = 10 và b = −10. Thay vào, ta được:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Vậy là xong phần giải “bằng mắt”, bây giờ ta chuyển sang các cách giải có hệ thống.

Phương pháp thế

Trong phương pháp thế, ta rút một ẩn từ một phương trình rồi thay kết quả đó vào phương trình còn lại. Trước hết cần có một hệ phương trình, chẳng hạn hệ sau:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Đây là một hệ đơn giản gồm hai phương trình hai ẩn. Nhiệm vụ là tìm x và y sao cho cả hai phương trình đều đúng. Từ phương trình thứ nhất, ta rút y. Như vậy, chỉ xét phương trình thứ nhất và biểu diễn y.

$4 x + 2 y = 6$

Trước hết trừ hai vế cho 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Chia hai vế cho 2:

$y = 3 - 2 x$

Bây giờ đã biết y bằng gì. Có thể thế kết quả này cho y trong phương trình thứ hai, tức là trong phương trình thứ hai, thay cho y ta viết 3 − 2x. Làm vậy được gì? Phương trình thứ hai sẽ không còn hai biến mà chỉ còn một, vì thay cho biến y ta đặt một biểu thức chỉ chứa biến x. Vậy ta thay vào:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Bây giờ chỉ cần nhân phá ngoặc và thu gọn:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Bây giờ đã biết giá trị của x, bằng 2. Còn phải tính giá trị của y. Muốn vậy, thay giá trị đã biết của x vào một phương trình chứa cả hai biến x và y. Có thể chọn chẳng hạn chính phương trình thứ nhất. Thay vào như sau:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Như vậy ta đã giải xong hệ. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất, đó là x = 2 và y = −1. Muốn kiểm tra kết quả, chỉ cần thay vào cả hai phương trình. Thay vào phương trình thứ nhất:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Và thay vào phương trình thứ hai:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Phương pháp cộng đại số

Tôi thích phương pháp này hơn, nhưng tất nhiên còn tuỳ vào từng bài cụ thể, không phải lúc nào cũng phù hợp. Nguyên tắc của phương pháp cộng đại số là: khi giải hệ phương trình, cộng các phương trình là một phép biến đổi tương đương. Ta cộng các phương trình bằng cách cộng vế trái của phương trình này với vế trái của phương trình kia, rồi cộng các vế phải. Xét hệ phương trình tổng quát sau:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Cộng hai phương trình này, ta được một phương trình duy nhất như sau:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Ta đã cộng riêng các vế trái và riêng các vế phải. Nhưng mục tiêu là gì? Nếu cộng hai phương trình mà vẫn còn hai biến thì không giúp được gì nhiều. Vì vậy ta cố gắng để sau khi cộng hai phương trình, một biến biến mất, tức là các hạng tử chứa biến đó triệt tiêu nhau. Như vậy, ta cố gắng để tổng của một trong hai cặp hàm số, f hoặc g, bằng 0:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Làm thế nào để đạt được điều đó? Hệ phương trình gồm các phương trình thông thường, có thể áp dụng các phép biến đổi tương đương phương trình như với các loại phương trình quen thuộc. Vì vậy có thể nhân hai vế của một phương trình với một số mà tập nghiệm không thay đổi. Ta thử giải hệ phương trình ở trên bằng phương pháp cộng đại số. Đề bài vẫn như cũ:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Nếu cộng ngay hai phương trình, cả hai biến đều còn lại:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Vì vậy trước hết phải biến đổi. Ta sẽ cố gắng làm “biến mất” biến y. Muốn vậy, hệ số của y trong hai phương trình phải bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu. Ta tìm bội chung nhỏ nhất, đó là 6. Cách đơn giản là nhân các hệ số với nhau: 2 nhân 3 bằng 6, nên 6 chắc chắn chia hết cho cả hai số (lưu ý: cách này không đảm bảo được bội chung nhỏ nhất, nhưng cho một số chia hết cho cả hai hệ số).

Bây giờ ta cần hệ số của y trong mỗi phương trình là 6. Vậy nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, của phương trình thứ hai với 2:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Ta được:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Bây giờ cộng hai phương trình:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Ta được một phương trình một ẩn, giải dễ dàng:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Kết quả giống như khi dùng phương pháp thế ở trên. Bây giờ chỉ cần thay x vào một phương trình nào đó là được y = −1. Việc thử lại cũng hoàn toàn như trước.

Số nghiệm

Hệ phương trình không nhất thiết có đúng một nghiệm. Hệ cũng có thể có vô số nghiệm, hoặc ngược lại, vô nghiệm. Nói ngắn gọn về việc khi nào điều đó xảy ra: nếu có hai phương trình hai ẩn và có thể nhận được một phương trình từ phương trình kia bằng các phép biến đổi tương đương thì hệ có vô số nghiệm. Ví dụ, xét hệ

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được đúng phương trình thứ hai. Phương trình thứ hai không mang thêm “thông tin mới” nào về hệ, nên thực tế là thừa. Kết quả là mọi nghiệm của phương trình

$x + y = 2$

cũng là nghiệm của cả hệ. Chẳng hạn các cặp số (1; 1) hoặc (−3; 5) là nghiệm của phương trình thứ nhất và đồng thời của cả hệ.

Hệ vô nghiệm nếu trong hệ có những phương trình mâu thuẫn nhau, không thể đồng thời đúng. Ví dụ:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Tổng x + y không thể đồng thời bằng 2 và bằng 4, nên hệ vô nghiệm. Thêm vài ví dụ nữa:

Ví dụ thứ nhất

Giải hệ hai phương trình hai ẩn sau:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Nhìn qua hệ, ta thấy nên dùng phương pháp cộng đại số. Hệ số của x ở phương trình thứ hai gấp đôi ở phương trình thứ nhất, còn hệ số của y ở phương trình thứ hai gấp ba. Vậy chỉ cần nhân hai vế của phương trình thứ nhất với −2 hoặc −3 rồi cộng các phương trình. Ta thử khử biến x, nên nhân hai vế của phương trình thứ nhất với −2. Ta được:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Cộng hai phương trình này, ta được

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Đã có kết quả thứ nhất của hệ. Thay kết quả này vào một phương trình nào đó, chẳng hạn lại là phương trình thứ nhất:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 9 và y = −14.

Ví dụ thứ hai

Giải hệ hai phương trình hai ẩn sau:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Trông có vẻ phức tạp, nhưng vẫn giải được. Trước hết phải nhân phá ngoặc, không thì khó đi tiếp.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Bây giờ biến đổi các phương trình về dạng dễ dùng hơn: chuyển các hạng tử chứa biến sang vế trái và các hệ số tự do sang vế phải, rồi thu gọn.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Từ những phương trình trông khá rối, ta đã được một hệ phương trình gọn gàng và có thể áp dụng một trong các cách giải quen thuộc. Chẳng hạn, có thể nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi cộng với phương trình thứ nhất. Sau khi nhân phương trình thứ hai với 2, ta được:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Bây giờ cộng hai phương trình theo phương pháp cộng đại số:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Tốt, đã biết một kết quả. Thay kết quả này vào một trong các phương trình để tính y. Chẳng hạn, thay vào phương trình 2x− 3y = −13, ta được:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Như vậy ta đã có nghiệm đầy đủ của hệ phương trình: x = 4 và y = 7.

« Bài trước: Bất phương trình lượng giác

Bài tiếp: Số »