Tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Tổ hợp tuyến tính là cách lập một vectơ mới từ một tập vectơ cho trước chỉ bằng phép cộng và phép nhân.

Tổ hợp tuyến tính là gì

Cho một không gian vectơ V. Ta biết không gian này đóng đối với phép cộng vectơ, nên với hai vectơ x, y ∈ V luôn có x + y ∈ V. Cộng hai vectơ, ta lại được một vectơ của cùng không gian đó. Với phép nhân với vô hướng cũng vậy: với k ∈ ℝ bất kì ta cũng có k · x ∈ V.

Có thể kết hợp cả hai phép toán — lấy k, l ∈ ℝ, biểu thức k · x + l · y lại cho một vectơ mới, kí hiệu là v, và vectơ v này cũng nằm trong không gian V. Vì sao? Ta có k · x ∈ V, đồng thời chắc chắn l · y ∈ V. Ta cộng hai vectơ của không gian V, nên theo định nghĩa phải được một vectơ của không gian V.

Khi đó ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ x và y. Tổng quát: cho các vectơ x₁, x₂, …, x_n và các số thực k₁, k₂, …, k_n, gọi là các hệ số; tổ hợp tuyến tính của các vectơ này là vectơ v thu được theo công thức

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Ví dụ: lấy không gian ℝ² và hai vectơ của nó: (2; 3) và (0; 8). Chọn các hệ số k₁ = 2, k₂ = 5. Tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này với các hệ số k₁, k₂ là vectơ

$2 \cdot (2; 3) + 5 \cdot (0; 8) = (4; 6) + (0; 40) = (4; 46)$

Ta được vectơ (4; 46), thuộc không gian ℝ². Nếu chọn các hệ số khác thì ta được một vectơ khác. Với k₁ = 0, k₂ = −1 ta có:

$0 \cdot (2; 3) - 1 \cdot (0; 8) = (0; 0) + (0; - 8) = (0; - 8)$

Các vectơ phụ thuộc tuyến tính

Gắn liền với tổ hợp tuyến tính là khái niệm các vectơ phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính. Ta xem qua một ví dụ: cho không gian vectơ ℝ² và tập hợp Q gồm các vectơ của không gian này:

$Q = {(1; 1); (2; 4); (3; 5); (10; 18)}$

Câu hỏi đặt ra là có thể biểu diễn một trong 4 vectơ này thành tổ hợp tuyến tính của 3 vectơ còn lại không. Nhìn vào các vectơ, ta thấy vectơ (3; 5) bằng tổng của hai vectơ đầu.

$(1; 1) + (2; 4) = (3; 5)$

Vậy vectơ (3; 5) là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ (1; 1) và (2; 4). Để thú vị hơn, ta bỏ vectơ này khỏi tập hợp Q. Ta được tập hợp mới Q₁ có dạng:

$Q_{1} = {(1; 1); (2; 4); (10; 18)}$

Trong đó còn vectơ nào là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác không? Có, vectơ (10; 18) là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ đầu với k₁ = 2, k₂ = 4:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) = (2; 2) + (8; 16) = (10; 18)$

Lại bỏ vectơ này đi, ta được:

$Q_{2} = {(1; 1); (2; 4)}$

Hỏi lại lần nữa — có thể biểu diễn một vectơ qua vectơ kia không? Không, không có tích nào của vectơ (1; 1) với một số bằng vectơ (2; 4).

Ta được một tập vectơ mà không vectơ nào biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Tập hợp như vậy gọi là tập vectơ độc lập tuyến tính. Nếu một vectơ biểu diễn được qua các vectơ còn lại thì ta nói vectơ đó phụ thuộc tuyến tính. Nếu không biểu diễn được thì ta nói nó độc lập tuyến tính.

Vectơ-không

Vectơ-không 0 đóng vai trò quan trọng trong sự phụ thuộc tuyến tính. Trở lại tập vectơ Q₁ trong không gian ℝ². Tập hợp Q₁ có dạng:

$Q_{1} = {(1; 1); (2; 4); (10; 18)}$

và ta đã biết vectơ (10; 18) là phụ thuộc, vì 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) = (10; 18). Vậy điều gì xảy ra nếu lấy biểu thức 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) trừ đi vectơ (10; 18)? Hay nói cách khác, cộng với −1 lần vectơ đó? Ta được:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18)$

Biểu thức này chắc chắn bằng vectơ-không:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18) = (0; 0)$

Từ đó có thể suy ra một tính chất thú vị. Nếu tập vectơ x₁, x₂, …, x_n phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại các hệ số thực a₁, a₂, …, a_n sao cho

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Trong đó ít nhất một hệ số a_i phải khác 0. Nếu thay tất cả các hệ số bằng 0 thì đẳng thức luôn đúng, và khi đó mọi tập vectơ đều phụ thuộc tuyến tính – điều đó chắc chắn vô lí. Giải thích đẳng thức trên rất đơn giản. Chẳng hạn nếu vectơ x₁ phụ thuộc tuyến tính thì

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

Chỉ cần cộng vào đẳng thức này −x₁, ta được

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Cách kiểm tra các vectơ có phụ thuộc hay không

Cho các vectơ x₁, x₂, …, x_n; muốn biết chúng phụ thuộc hay độc lập tuyến tính, chỉ cần giải phương trình đã nêu

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

tức là tìm các hệ số a_i. Trong không gian ℝ³, ta có thể có các vectơ sau: (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5). Vì muốn biết chúng có phụ thuộc hay không, ta giải phương trình:

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Chỉ cần viết chi tiết phương trình này theo định nghĩa phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số. Ta có a₁ · (1; 2; 3) = (a₁; 2a₁; 3a₁), v.v. Viết lại như sau:

$(a_{1}; 2 a_{1}; 3 a_{1}) + (2 a_{2}; a_{2}; 7 a_{2}) + (a_{3}; - 4 a_{3}; 5 a_{3}) = (0; 0; 0)$

Bây giờ khai triển phép cộng. Ta luôn cộng các thành phần ở cùng vị trí: cộng thành phần thứ nhất của vectơ thứ nhất a₁ với thành phần thứ nhất của vectơ thứ hai 2a₂ và với thành phần thứ nhất của vectơ thứ ba a₃; tất cả phải bằng thành phần thứ nhất của vectơ-không, tức là 0. Với thành phần thứ hai và thứ ba cũng vậy. Ta được một hệ phương trình tuyến tính:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Có thể viết hệ này thành một ma trận thông thường:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Để ý rằng các cột của ma trận này thực chất là các vectơ ban đầu. Cột thứ nhất của ma trận là vectơ ban đầu (1; 2; 3), cột thứ ba là vectơ (1; −4; 5), v.v. Vì vậy khi tính không phải lúc nào cũng cần làm hết các bước phức tạp như trên: ta lập ma trận này bằng cách xếp vào các cột những vectơ cần kiểm tra sự phụ thuộc, rồi thêm một cột toàn số 0.

Có thể giải hệ bằng phương pháp khử Gauss. Đưa ma trận về dạng bậc thang. Trước hết cộng vào dòng thứ hai −2 lần dòng thứ nhất và cộng vào dòng thứ ba −3 lần dòng thứ nhất:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Bây giờ có thể cộng vào dòng thứ hai 3 lần dòng thứ ba:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Không cần tính tiếp nữa: ta đã biến được một dòng thành dòng toàn số 0, nghĩa là các vectơ phụ thuộc tuyến tính. Nhưng ta vẫn có thể giải hệ đến cùng. Chọn tham số a₃ = t. Khi đó từ phương trình

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

tức là dòng cuối của ma trận, thay a₃ = t ta được phương trình:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Bây giờ thay các giá trị này vào phương trình thứ nhất, tức là dòng thứ nhất của ma trận:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Như vậy a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Thay t bằng, chẳng hạn, t = 3, ta được một nghiệm cụ thể a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Có thể thay các hệ số này vào phương trình ban đầu

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

và được:

$9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Biến đổi vế trái:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) & = & (0; 0; 0) \\ (9; 18; 27) + (- 12; - 6; - 42) + (3; - 12; 15) & = & (0; 0; 0) \\ (9 - 12 + 3; 18 - 6 - 12; 27 - 42 + 15) & = & (0; 0; 0) \\ (0; 0; 0) & = & (0; 0; 0) \end{array}$

Ta thấy nếu chọn các hệ số, chẳng hạn, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3 thì từ các vectơ (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5) ta được vectơ-không. Nếu hệ chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường thì các vectơ độc lập tuyến tính.

Mục lục: Không gian vectơ, Ví dụ về không gian vectơ, Không gian vectơ con, Tổ hợp tuyến tính của các vectơ, Bao tuyến tính, Cơ sở của không gian vectơ, Số chiều của không gian vectơ, Ma trận chuyển cơ sở

« Bài trước: Không gian vectơ con

Bài tiếp: Bao tuyến tính »