Số chiều của không gian vectơ

Số chiều của không gian vectơ bằng số phần tử của một cơ sở của không gian vectơ đó. Nếu cơ sở vô hạn thì ta nói số chiều cũng vô hạn.

Định nghĩa số chiều của không gian vectơ

Cho không gian vectơ V và một cơ sở B của nó. Tức là B ⊆ V, tập hợp B gồm các vectơ độc lập tuyến tính và bao tuyến tính của tập hợp B bằng không gian V: ⟨B⟩ = V.

Nếu cơ sở B có hữu hạn phần tử, số phần tử là n, thì ta nói số chiều của không gian V bằng n. Số chiều được kí hiệu bằng chữ dim, nên dim V = |B| = n. Nếu cơ sở B vô hạn thì ta nói số chiều của không gian cũng vô hạn. Vì mọi cơ sở của một không gian đều có cùng số phần tử nên lấy cơ sở nào cũng được.

Ví dụ: không gian ℝ³ có cơ sở (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Cơ sở này có tất cả 3 vectơ, vậy dim ℝ³ = 3. Tổng quát, có thể nói dim ℝⁿ = n.

Nếu không gian V có số chiều bằng n, ta nói đó là không gian vectơ n chiều.

Tính chất của số chiều

• Cho không gian vectơ V và một không gian con W ⊆ V của nó. Khi đó dim W ≤ dim V.
• Cho không gian vectơ V hữu hạn chiều và một không gian con W ⊂ V của nó. Khi đó dim W < dim V. Điểm khác so với ý trên là ta không cho phép W = V. Như vậy, nếu không gian con W nhỏ hơn V thì không gian con này cũng có số chiều nhỏ hơn. Vì sao? Vì tồn tại vectơ x ∈ V ∖ W không phải tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc W, do đó cũng không phải tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc một cơ sở bất kì của W.
• Nếu không gian V có số chiều bằng n thì n vectơ độc lập tuyến tính bất kì đều tạo thành một cơ sở của không gian V. Còn một tập gồm n + 1 vectơ luôn là tập vectơ phụ thuộc tuyến tính.