Không gian vectơ con

Không gian vectơ con là một tập con của một không gian vectơ nào đó mà vẫn đóng đối với phép cộng và phép nhân với vô hướng.

Định nghĩa

Cho một không gian vectơ V. Không gian vectơ con W là một tập con của không gian V, đồng thời bản thân tập hợp W cũng là một không gian vectơ. Như vậy, để tập con khác rỗng W ⊆ V là không gian vectơ con của không gian V, nó phải thoả mãn hai điều kiện sau: với mọi x, y ∈ W và với mọi a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Như vậy ta phải chọn một tập con của V sao cho các vectơ trong đó đóng đối với phép cộng và phép nhân.

Không gian con của không gian R³

Lấy không gian ℝ³ và thử tìm một không gian con của nó.

1. Chẳng hạn tất cả các bộ ba dạng (a; a; a), với a ∈ ℝ, tức là các bộ ba như $(1;1;1),(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ hay (−π; −π; −π). Không gian con này, kí hiệu là W₁, là tập con của không gian ℝ³, tức là W₁ ⊆ ℝ³, vì ℝ³ chứa mọi bộ ba.

Không gian này đóng đối với phép cộng vectơ, vì

$$(a;a;a)+(b;b;b)=(a+b;a+b;a+b).$$

Cộng hai vectơ, ta được một vectơ mới cũng có ba thành phần bằng nhau, và vectơ đó thuộc tập hợp W₁. Vậy tập hợp W₁ thoả mãn điều kiện thứ nhất của không gian vectơ con. Nhưng nó có thoả mãn điều kiện thứ hai không?

Có, vì nhân với số k làm thay đổi cả ba thành phần của vectơ, nhưng thay đổi hoàn toàn như nhau:

$$k\cdot (a;a;a)=(k\cdot a;k\cdot a;k\cdot a).$$

Ta lại được một vectơ có ba thành phần bằng nhau, và vectơ đó thuộc tập hợp W₁. Vậy tập hợp W₁ là không gian vectơ con của ℝ³.

• Ta thử lấy tất cả các bộ ba (a; b; c) thoả mãn a, b, c ∈ [−1; 1]. Kí hiệu tập hợp này là W₂; các phần tử của nó chẳng hạn là các bộ ba $(\frac{1}{2};-\frac{2}{7};\frac{8}{9})$ hay $(0;\frac{\pi }{4};1)$. Các phần tử của W₂ có đóng đối với phép cộng không? Chắc chắn là không, vì $(1;1;1)+(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4})$ bằng bộ ba $(\frac{3}{2};\frac{4}{3};\frac{5}{4})$, không thuộc W₂. Vậy tập hợp W₂ không phải là không gian con của không gian ℝ³; thậm chí W₂ còn không phải là một không gian vectơ.

• Bây giờ lấy tất cả các bộ ba dạng (a; 0; b), với a, b ∈ ℝ, tức là tất cả các bộ ba có thành phần thứ hai bằng 0. Kí hiệu tập hợp này là W₃. Tập hợp này có đóng đối với phép cộng không? Có, vì

$$(a;0;b)+(c;0;d)=(a+c;0;b+d)$$

Kết quả là bộ ba (a + c; 0; b + d), có thành phần thứ hai bằng 0, còn hai thành phần kia là số thực. Bộ ba này chắc chắn thuộc W₃. W₃ có đóng đối với phép nhân không? Có, vì

$$k\cdot (a;0;b)=(k\cdot a;0;k\cdot b)$$

Ta lại được bộ ba (k · a; 0; k · b), có thành phần thứ hai luôn bằng 0, còn các thành phần khác là số thực. Bộ ba như vậy là phần tử của W₃. Vậy tập hợp W₃ là một không gian con của không gian ℝ³. Để ý rằng các bộ ba dạng (a; b; 0) hay (a; 0; 0) cũng tạo thành không gian vectơ con.

Không gian con của không gian các đa thức

Ở bài trước, ta đã xét không gian vectơ gồm các đa thức. Nhắc lại: đa thức là biểu thức dạng

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Giả sử a_n ≠ 0. Khi đó bậc của đa thức này đúng bằng n. Các số thực a₀, …, a_n gọi là các hệ số của đa thức. Ví dụ về đa thức là biểu thức 4 + 3x − 7x². Ta thử tìm một không gian vectơ con. Xét không gian vectơ P(x) gồm tất cả các đa thức.

1. Trước hết thử tập hợp tất cả các đa thức bậc n, với n ≥ 0; kí hiệu tập hợp này là W₁. Ở bài trước ta đã thấy đây hoàn toàn không phải là không gian vectơ, nên khó có thể là không gian vectơ con của không gian P(x). Nhắc lại: chẳng hạn nhân một đa thức trong W₁ với 0, ta được đa thức p(x) = 0, mà ở đây ta quy ước có bậc −1. Phần tử này chắc chắn không thuộc W₁ nào cả.

2. Ta thử lấy W₂ là tất cả các đa thức bậc không quá n. Như vậy với n = 2, W₂ gồm tất cả các đa thức bậc 2, 1, 0, −1. Tập hợp này có đóng đối với phép cộng không? Có, vì tổng của hai đa thức bậc không quá n không bao giờ có bậc lớn hơn n, chỉ có thể nhỏ hơn. Tập hợp này cũng đóng đối với phép nhân, vì tích của đa thức p(x) với số k bất kì hoặc là một đa thức cùng bậc, hoặc là đa thức-không. Cả hai khả năng đều nằm trong tập hợp W₂, nên W₂ là không gian con của không gian P(X).

Các tính chất cơ bản của không gian con

Cho không gian vectơ V và hai không gian con W₁ và W₂ của nó. Khi đó

1. Giao W₁ ∩ W₂ là không gian vectơ con của V.

   Xét không gian vectơ ℝ³ và hai không gian con W₁, W₂, trong đó W₁ gồm các bộ ba dạng (a; b; 0) và W₂ gồm các bộ ba dạng (a; 0; b), với a, b ∈ ℝ. Khi đó giao W₁ ∩ W₂ là tập hợp gồm các bộ ba dạng (a; 0; 0) — rõ ràng tập hợp này là không gian con của không gian ℝ³.

   Tất nhiên đó chưa phải là chứng minh. Chứng minh như sau: lấy một không gian vectơ bất kì V và hai không gian con W₁ và W₂ của nó. Ta muốn chứng minh rằng với mọi x, y ∈ W₁ ∩ W₂ ta có x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Vì hai vectơ x và y thuộc giao W₁ ∩ W₂ nên chắc chắn x, y ∈ W₁ và đồng thời x, y ∈ W₂ (theo định nghĩa giao của hai tập hợp). Vì W₁ và W₂ đồng thời là các không gian vectơ nên cũng phải có x + y ∈ W₁ và x + y ∈ W₂ (theo định nghĩa không gian vectơ). Như vậy x + y ∈ W₁ và đồng thời x + y ∈ W₂, từ đó suy ra x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (cũng theo định nghĩa giao của hai tập hợp — nếu một phần tử thuộc tập hợp W₁ và thuộc tập hợp W₂ thì nó phải thuộc giao của chúng).

   Tiếp theo cần kiểm tra tính đóng đối với phép nhân. Cần chứng minh rằng với mọi k ∈ ℝ và x ∈ W₁ ∩ W₂ ta có k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Cách làm tương tự. Vì x ∈ W₁ ∩ W₂ nên x ∈ W₁ và x ∈ W₂. Vì W₁ và W₂ là các không gian vectơ nên k · x ∈ W₁ và đồng thời k · x ∈ W₂, do đó k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Hợp W₁ ∪ W₂ không nhất thiết là không gian con của V.

   Để chứng minh tính chất thứ hai, chỉ cần tìm một phản ví dụ thích hợp. Chỉ cần dùng hai không gian W₁ và W₂ ở trên, gồm các bộ ba dạng (a; b; 0) và (a; 0; b). Lấy hợp của chúng, ta được tất cả các bộ ba có số 0 ở vị trí thứ hai hoặc thứ ba. Như vậy hai vectơ (1; 0; 1) và (1; 1; 0) chắc chắn thuộc hợp W₁ ∪ W₂. Nhưng tổng của chúng bằng vectơ (2; 1; 1), không có số 0 ở vị trí nào. Vectơ này không thuộc W₁, cũng không thuộc W₂, nên không thể thuộc W₁ ∪ W₂. Ta đã tìm được hai vectơ mà tổng của chúng không thuộc cùng tập hợp đó, nên đây không thể là một không gian vectơ.