Ma trận chuyển cơ sở

Cho không gian vectơ V và hai cơ sở của nó; một vectơ của không gian có thể biểu diễn thành tổ hợp của các vectơ thuộc cả hai cơ sở. Ma trận chuyển cơ sở giúp chuyển cách biểu diễn này sang cách biểu diễn kia.

Vì sao cần ma trận chuyển cơ sở

Cho không gian vectơ n chiều V và hai cơ sở khác nhau của nó E = {e₁; …; e_n} và F = {f₁; …; f_n}. Chọn một vectơ x thuộc V. Vì x thuộc không gian V, còn E và F đều là cơ sở của không gian này, nên phải tồn tại các hệ số a₁, …, a_n sao cho:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

đồng thời phải tồn tại các hệ số b₁, …, b_n sao cho:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Trường hợp thứ nhất, ta biểu diễn vectơ x theo cơ sở E, trường hợp thứ hai theo cơ sở F. Dùng hai cơ sở khác nhau để biểu diễn x, ta được hai bộ hệ số khác nhau a_i và b_i. Câu hỏi đặt ra: nếu biết các hệ số b_i, có cách nào từ chúng tìm được các hệ số a_i, tức là toạ độ của vectơ đối với cơ sở thứ nhất không?

Có, đó chính là công dụng của ma trận chuyển cơ sở.

Cách tìm ma trận chuyển cơ sở

Vẫn xét không gian V và hai cơ sở E = {e₁; …; e_n} và F = {f₁; …; f_n}. Vì E là cơ sở của không gian V nên chắc chắn mọi vectơ f₁, …, f_n đều biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở E. Các vectơ f₁, …, f_n thuộc cơ sở F, nhưng đồng thời cũng là những phần tử bình thường của không gian V, nên:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Bây giờ ta viết các đẳng thức này thành một ma trận: cột thứ nhất của ma trận gồm các hệ số của vectơ $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, tức là a_i1, cột thứ hai gồm các hệ số của vectơ $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, tức là a_i2, v.v. Ta được ma trận:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Ma trận này gọi là ma trận chuyển từ cơ sở E sang cơ sở F. Nếu vectơ x = (x₁; …; x_n) thuộc V có các toạ độ b₁, …, b_n đối với cơ sở F thì các toạ độ a₁, …, a_n đối với cơ sở E tính được theo công thức

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Ví dụ

Ta làm việc trong không gian vectơ ℝ³. Chọn một cơ sở là cơ sở chính tắc E = {(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)} và cơ sở thứ hai F = {(2; 0; 0); (3; 2; 0); (1; 5; 4)}. Ma trận chuyển từ cơ sở E sang cơ sở F có dạng

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Bây giờ chọn một vectơ bất kì x ∈ ℝ³, chẳng hạn x = (12; 41; 28). Đối với cơ sở F, vectơ này có các toạ độ b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Ta thực hiện phép nhân ma trận:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Đối với cơ sở E, vectơ x có các toạ độ a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Như vậy:

$$(12;41;28)=12\cdot (1;0;0)+41\cdot (0;1;0)+28\cdot (0;0;1)$$