Bao tuyến tính

Cho một tập vectơ; lấy tất cả các tổ hợp tuyến tính của chúng, ta được bao tuyến tính của tập vectơ đó.

Định nghĩa bao tuyến tính

Cho các vectơ x₁, …, x_n. Ta đã biết từ các vectơ này có thể lập một vectơ mới bằng tổ hợp tuyến tính. Chọn các số thực a₁, …, a_n, ta được vectơ mới y bằng cách nhân rồi cộng

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Theo cách này, nếu ít nhất một vectơ x_i khác vectơ-không, từ tập vectơ x₁, …, x_n ta tạo ra được vô số vectơ “khác” — chỉ cần chọn các hệ số a₁, …, a_n khác.

Cứ tiếp tục sinh vectơ như vậy, cuối cùng ta được tất cả các vectơ có thể thu được bằng tổ hợp tuyến tính của các vectơ x₁, …, x_n. Tập hợp đó gọi là bao tuyến tính của các vectơ x₁, …, x_n. Bao tuyến tính của tập vectơ X được kí hiệu bằng dấu ngoặc nhọn: ⟨X⟩ (cũng hay viết là span(X)). Một cách chặt chẽ, bao tuyến tính là

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

khi số vectơ là hữu hạn. Nếu tập hợp vectơ X là vô hạn, ta lấy mọi tập con hữu hạn Y_i ⊆ X, tức là |Y_i| = r với một r ∈ ℕ nào đó, và khi đó bao tuyến tính của tập hợp X là hợp của tất cả các tập hợp ⟨Y_i⟩.

Ví dụ

Ta vẫn dùng không gian vectơ quen thuộc ℝ³. Chọn tập hợp một phần tử X₁ = {(1; 2; 1)} và hỏi: bao tuyến tính của tập hợp này là gì? Đó là tất cả các tổ hợp tuyến tính của vectơ (1; 2; 1). Bao tuyến tính có dạng

$$⟨X_1⟩=\{(a;2a;a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Như vậy đó là các vectơ dạng (3; 6; 3),(8; 16; 8),(−1; −2; −1), v.v. Ta có thể thử kiểm tra rằng tổng của hai vectơ trong đó cho một vectơ mới cùng dạng:

$$\begin{array}{rcl}(3;6;3)+(3;6;3)& =& (6;12;6)\\ (3;6;3)+(-1;-2;-1)& =& (2;4;2)\\ (8;16;8)+(2;4;2)& =& (10;20;10)\end{array}$$

Ví dụ thứ hai là các vectơ quen thuộc X₂ = {(1; 0; 0); (0; 1; 0)}. Tìm tất cả các tổ hợp tuyến tính, ta thấy chúng có dạng (a; b; 0), với a, b ∈ ℝ. Điều này dễ thấy, vì

$$(a;b;0)=a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0).$$

Các vectơ của bao tuyến tính này chẳng hạn là (0; 8; 0), (14; 15; 0), v.v. Viết bằng kí hiệu như sau:

$$⟨X_2⟩=\{(a;b;0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Bao tuyến tính là không gian con nhỏ nhất

Cho không gian vectơ V và một tập vectơ X ⊆ V. Khi đó bao tuyến tính ⟨X⟩ là một không gian vectơ con của không gian V, tức là bao tuyến tính ⟨X⟩ là một không gian vectơ.

Chỉ cần chứng minh rằng bao tuyến tính ⟨X⟩ đóng đối với phép cộng và phép nhân. Điều đó chắc chắn đúng, vì mọi vectơ x ∈ ⟨X⟩ đều là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc X.

Bao tuyến tính của tập hợp X đồng thời là không gian con nhỏ nhất chứa mọi vectơ của tập hợp X. Vì sao? Không gian vectơ con nhỏ nhất chứa các vectơ của X phải chứa cả mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc X — nếu không thì nó không phải là không gian vectơ. Ta chứng minh phản chứng: giả sử tồn tại một không gian vectơ con nhỏ hơn, kí hiệu là Y, chứa mọi vectơ của X, tức là X ⊆ Y. Vì theo giả thiết Y nhỏ hơn bao tuyến tính ⟨X⟩, nên phải tồn tại một vectơ x thuộc ⟨X⟩ nhưng không thuộc Y, tức là x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Nhưng vectơ x phải lập được thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc X, tức là phải tồn tại các vectơ x₁, …, x_n ∈ X và các hệ số a₁, …, a_n sao cho

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Nếu Y không chứa vectơ x này nhưng lại chứa các vectơ x₁, …, x_n thì Y không thể là không gian vectơ, do đó cũng không thể là không gian con. Vậy bao tuyến tính ⟨X⟩ là không gian con nhỏ nhất chứa mọi vectơ của X.

Các tính chất cơ bản của bao tuyến tính

• Luôn có W ⊆ ⟨W⟩. Điều này hẳn đã rõ: bao tuyến tính của tập hợp W luôn bằng hoặc lớn hơn tập hợp W. Vì bao tuyến tính ⟨W⟩ chứa mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc W nên ⟨W⟩ cũng phải chứa mọi vectơ của W: lấy một vectơ x ∈ W bất kì, với a = 1 ta được tổ hợp a · x = x.

  Ví dụ: bao tuyến tính của tập hợp W = {(1; 0; 0)} là tập hợp

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a;0;0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Rõ ràng {(1; 0; 0)} ⊆ {(a; 0; 0) | a ∈ ℝ}.

• Luôn có ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Một khi đã tìm được bao tuyến tính thì bao tuyến tính của bao này vẫn là chính nó. ⟨W⟩ chứa mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc W. Nếu lại tìm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc ⟨W⟩ thì ta không được thêm vectơ mới nào.

• Cho không gian vectơ V và hai tập con W₁ và W₂ của không gian này (không nhất thiết là không gian con), tức là W₁, W₂ ⊆ V. Nếu đồng thời W₁ ⊆ W₂ thì ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Nói cách khác: với hai tập vectơ mà tập này nhỏ hơn tập kia, tập nhỏ hơn có bao tuyến tính nhỏ hơn hoặc bằng bao tuyến tính của tập lớn hơn.

  Ví dụ: cho W₁ = {(1; 0; 0)} và W₂ = {(1; 0; 0); (0; 1; 0)}. Ta thấy W₁ ⊆ W₂. Các bao tuyến tính là gì?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a;0;0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a;b;0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Tập vectơ W₂ “sinh ra bao tuyến tính lớn hơn” tập W₁, đúng như ta mong đợi. Tập hợp W₂ chứa mọi vectơ của tập hợp W₁, nên mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc W₁ cũng sinh ra được từ các vectơ thuộc W₂.

  Một ví dụ khác: W₃ = {(1; 2; 0)} và W₄ = {(1; 2; 0); (5; 10; 0)}. Nhìn qua cũng thấy các vectơ trong W₄ phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy hai tập hợp sinh ra cùng một bao tuyến tính. Tức là dù W₃ ⊂ W₄, ta vẫn có ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.