✖

벡터의 일차결합

일차결합은 주어진 벡터들의 집합에서 덧셈과 곱셈만으로 새 벡터를 만드는 방법이다.

일차결합이란

어떤 벡터공간 V가 있다고 하자. 공간은 벡터의 덧셈에 대해 닫혀 있으므로 두 벡터 x, y ∈ V에 대해 언제나 x + y ∈ V이다. 두 벡터를 더하면 다시 같은 공간의 벡터를 얻는다. 스칼라배도 마찬가지이다. 어떤 k ∈ ℝ이 있으면 k · x ∈ V이다.

두 연산을 함께 쓸 수도 있다. k, l ∈ ℝ을 잡으면 식 k · x + l · y는 다시 새 벡터가 되는데, 이것을 v라고 하자. 이 벡터 v도 공간 V에 있다. 왜일까? k · x ∈ V이고 분명히 l · y ∈ V이다. 공간 V의 두 벡터를 더하므로 정의에 따라 공간 V의 벡터를 얻어야 한다.

그래서 벡터 v는 벡터 x와 y의 일차결합이라고 말할 수 있다. 일반적으로, 벡터 x1, x2, …, xn과 계수라고 부르는 실수 k1, k2, …, kn이 있으면 이 벡터들의 일차결합은 다음과 같이 얻는 벡터 v이다.

v=k1⋅x1+k2⋅x2+…+kn⋅xn.

예: 공간 ℝ2에서 벡터 두 개 (2, 3)과 (0, 8)을 잡는다. 이제 계수 k1 = 2, k2 = 5를 고른다. 계수 k1, k2로 이 벡터들의 일차결합을 만들면 다음 벡터를 얻는다.

2⋅(2,3)+5⋅(0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)

공간 ℝ2에 속하는 벡터 (4, 46)을 얻었다. 다른 계수를 고르면 다른 벡터를 얻는다. k1 = 0, k2 = −1이면 다음과 같다.

0⋅(2,3)−1⋅(0,8)=(0,0)+(0,−8)=(0,−8)

일차종속인 벡터

일차결합과 관련된 것이 일차종속인 벡터와 일차독립인 벡터이다. 예를 들어 살펴보자. 벡터공간 ℝ2와 이 공간의 벡터들의 집합 Q가 있다고 하자.

Q={(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)}

이제 이 네 벡터 가운데 어떤 것을 나머지 세 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있는지 알아보자. 벡터들을 들여다보면 벡터 (3, 5)가 처음 두 벡터의 단순한 합이라는 것을 알 수 있다.

(1,1)+(2,4)=(3,5)

따라서 벡터 (3, 5)는 벡터 (1, 1)과 (2, 4)의 일차결합이다. 재미 삼아 이 벡터를 집합 Q에서 빼자. 그러면 새 집합 Q1을 얻는다.

Q1={(1,1),(2,4),(10,18)}

나머지 벡터들의 일차결합인 벡터가 또 있을까? 있다. 벡터 (10, 18)은 k1 = 2, k2 = 4일 때 처음 두 벡터의 일차결합이다.

2⋅(1,1)+4⋅(2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)

이 벡터도 빼면 다음을 얻는다.

Q2={(1,1),(2,4)}

다시 묻는다. 한 벡터를 다른 벡터의 결합으로 얻을 수 있을까? 얻을 수 없다. 벡터 (1, 1)을 몇 배 해도 벡터 (2, 4)가 되지 않는다.

어떤 벡터도 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합을 얻었다. 이런 집합을 일차독립인 벡터들의 집합이라고 한다. 한 벡터를 나머지 벡터들의 결합으로 나타낼 수 있으면 그 벡터를 일차종속인 벡터라고 한다. 나타낼 수 없으면 일차독립인 벡터라고 한다.

영벡터

영벡터 0은 일차종속에서 중요한 역할을 한다. 벡터들의 집합 Q1과 공간 ℝ2로 돌아가자. 집합 Q1은 다음과 같다.

Q1={(1,1),(2,4),(10,18)}

2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18)이므로 벡터 (10, 18)이 종속이라는 것은 이미 안다. 그러면 식 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4)에서 벡터 (10, 18)을 빼면, 다시 말해 그 −1배를 더하면 어떻게 될까? 다음과 같다.

2⋅(1,1)+4⋅(2,4)−(10,18)

이 식은 분명히 영벡터와 같다.

2⋅(1,1)+4⋅(2,4)−(10,18)=(0,0)

여기서 흥미로운 성질을 이끌어 낼 수 있다. 벡터들의 집합 x1, x2, …, xn이 일차종속이면 다음을 만족하는 실수 계수 a1, a2, …, an이 있다.

a1⋅x1+a2⋅x2+…+an⋅xn=0

이때 계수 ai 가운데 적어도 하나는 0이 아니어야 한다. 모든 계수에 0을 대입하면 언제나 성립하는 등식을 얻으므로, 어떤 벡터들의 집합이든 일차종속이라는 결론이 나오는데, 이것은 분명히 말이 안 된다. 앞의 등식이 성립하는 이유는 간단하다. 예를 들어 벡터 x1이 일차종속이면 다음이 성립한다는 뜻이다.

a2⋅x2+…+an⋅xn=x1

이 등식에 −x1을 더하기만 하면 다음을 얻는다.

−1⋅x1+a2⋅x2+…+an⋅xn=0

벡터가 종속인지 판단하는 방법

벡터 x1, x2, …, xn이 있을 때 이 벡터들이 일차종속인지 일차독립인지 알고 싶으면 앞의 방정식

a1⋅x1+a2⋅x2+…+an⋅xn=0

을 풀면 된다. 즉 계수 ai를 찾으면 된다. 공간 ℝ3에서라면 벡터 (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5)를 생각할 수 있다. 이 벡터들이 종속인지 알고 싶으므로 다음 방정식을 푼다.

a1⋅(1,2,3)+a2⋅(2,1,7)+a3⋅(1,−4,5)=(0,0,0)

이 방정식을 벡터의 덧셈과 곱셈의 정의에 따라 풀어 쓰기만 하면 된다. a1 · (1, 2, 3) = (a1, 2a1, 3a1) 등이 성립한다. 다음과 같이 풀어 쓴다.

(a1,2a1,3a1)+(2a2,a2,7a2)+(a3,−4a3,5a3)=(0,0,0)

이제 덧셈을 풀어 쓴다. 언제나 같은 자리끼리 더하므로 첫 번째 벡터의 첫 번째 성분 a1, 두 번째 벡터의 첫 번째 성분 2a2, 세 번째 벡터의 첫 번째 성분 a3을 더하고, 이 모두가 영벡터의 첫 번째 성분, 즉 0과 같아야 한다. 두 번째와 세 번째 성분도 마찬가지이다. 그러면 연립일차방정식을 얻는다.

a1+2a2+a3=02a1+a2+−4a3=03a1+7a2+5a3=0

이 연립방정식은 보통의 행렬로 쓸 수 있다.

(121021−403750)

이 행렬의 열에는 사실 원래 벡터들이 있다는 점에 주목하자. 행렬의 첫 번째 열에는 원래 벡터 (1, 2, 3)이, 세 번째 열에는 벡터 (1, −4, 5)가 있고, 나머지도 마찬가지이다. 그러니 계산할 때 이 복잡한 변형을 매번 다 할 필요 없이, 종속인지 알아볼 벡터들을 열로 늘어놓고 영열을 덧붙여서 이 행렬을 만들면 된다.

연립방정식은 가우스 소거법으로 풀 수 있다. 행렬을 사다리꼴로 바꾼다. 먼저 두 번째 행에 첫 번째 행의 −2배를 더하고, 세 번째 행에 첫 번째 행의 −3배를 더한다.

(121021−403750)∼(12100−3−600120)

이제 두 번째 행에 세 번째 행의 3배를 더할 수 있다.

(12100−3−600120)∼(121000000120)

더 계산할 필요도 없다. 한 행을 0으로 만들었으므로 벡터들은 일차종속이다. 하지만 연립방정식을 끝까지 풀어 볼 수도 있다. 매개변수를 a3 = t로 잡는다. 그러면 행렬의 마지막 행인 방정식

a2+2a3=0

에 a3 = t를 대입해서 다음 방정식을 얻는다.

a2+2t=0a2=−2t

이제 이 값들을 첫 번째 방정식, 즉 행렬의 첫 번째 행에 대입한다.

a1+2a2+a3=0a1−4t+t=0a1=3t

그러니 a1 = 3t, a2 = −2t, a3 = t이다. t에 예를 들어 t = 3을 대입하면 구체적인 해 a1 = 9, a2 = −6, a3 = 3을 하나 얻는다. 이 계수들을 원래 방정식

a1⋅(1,2,3)+a2⋅(2,1,7)+a3⋅(1,−4,5)=(0,0,0)

에 대입하면 다음을 얻는다.

9⋅(1,2,3)+(−6)⋅(2,1,7)+3⋅(1,−4,5)=(0,0,0)

좌변을 정리한다.

9⋅(1,2,3)+(−6)⋅(2,1,7)+3⋅(1,−4,5)=(0,0,0)(9,18,27)+(−12,−6,−42)+(3,−12,15)=(0,0,0)(9−12+3,18−6−12,27−42+15)=(0,0,0)(0,0,0)=(0,0,0)

계수를 예를 들어 a1 = 9, a2 = −6, a3 = 3으로 고르면 벡터 (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5)에서 영벡터를 얻는다는 것을 알 수 있다. 연립방정식의 해가 자명한 해 하나뿐이었다면 벡터들은 일차독립이었을 것이다.

목차: 벡터공간, 벡터공간의 예, 부분공간, 벡터의 일차결합, 생성, 기저, 차원, 기저변환행렬