Ví dụ về không gian vectơ

Ở phần trước, ta đã định nghĩa không gian vectơ, hay không gian tuyến tính, và xét ví dụ về không gian vectơ quen thuộc ℝ². Bài này giới thiệu thêm các ví dụ khác.

Không gian vectơ Rⁿ

Ta đã biết không gian vectơ ℝ² gồm các vectơ dạng (a; b), trong đó a, b là các số thực. Ta sẽ thấy rằng thực ra mọi tập hợp các bộ n có thứ tự ℝⁿ, với n > 0, đều tạo thành một không gian vectơ.

Với n = 2, ta được tập hợp các cặp (a; b). Tăng n lên n = 3, ta được tập hợp các bộ ba. Như vậy từ mặt phẳng ta chuyển sang không gian. ℝ² biểu diễn mặt phẳng thông thường, còn ℝ³ là không gian ba chiều thông thường.

Các phép cộng và phép nhân được định nghĩa giống như trường hợp n = 2, chỉ khác là phải cộng/nhân tất cả các thành phần của vectơ:

$\begin{array}{rcl} (a_{1}; a_{2}; \dots; a_{n}) + (b_{1}; b_{2}; \dots; b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; \dots; a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}; a_{2}; \dots; a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}; k \cdot a_{2}; \dots; k \cdot a_{n}) \end{array}$

Bây giờ lẽ ra ta phải chứng minh rằng không gian vectơ ℝ³, hay tổng quát là ℝⁿ, thoả mãn cả 7 điều kiện trong định nghĩa không gian vectơ. Tuy nhiên các chứng minh về cơ bản giống hệt, chỉ khác là thay cho vectơ có hai thành phần, ta làm việc với vectơ có ba thành phần. Chẳng hạn, điều kiện thứ nhất về tính chất giao hoán của phép cộng vectơ với n = 3 được chứng minh như sau:

Cần chứng minh: x + y = y + x, trong đó x, y ∈ ℝ³. Viết chi tiết phép cộng hai vectơ:

$(a; b; c) + (d; e; f) = (a + d; b + e; c + f)$

Đổi chỗ hai vectơ ở vế trái, ta được:

$(d; e; f) + (a; b; c) = (d + a; e + b; f + c)$

Nhưng từ tính chất của phép cộng hai số thực suy ra hai vectơ kết quả bằng nhau, tức là (a + d; b + e; c + f) = (d + a; e + b; f + c).

So sánh với chứng minh cho n = 2 ở bài trước, bạn sẽ thấy hai chứng minh thực tế như nhau. 6 điều kiện còn lại cũng chứng minh được theo cách tương tự.

Điều thú vị là ℝ¹ = ℝ, tức là bản thân tập số thực, cũng là một không gian vectơ. Khi đó phép cộng và phép nhân vectơ trở thành phép cộng và phép nhân số thực thông thường, mà các phép toán này chắc chắn thoả mãn cả 7 điều kiện.

Ta chắc chắn sẽ còn gặp lại không gian ℝⁿ, vì đó là một không gian vectơ khá thông dụng.

Không gian vectơ các ma trận cỡ m × n

Tập hợp tất cả các ma trận có m dòng và n cột, gồm toàn số thực, cùng với phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với vô hướng tạo thành một không gian vectơ. Ta kí hiệu gọn không gian này là ℝ^{m × n}.

Với m = 2, n = 3, ta được các ma trận có 2 dòng và 3 cột. Một ví dụ cụ thể là ma trận

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

Phép cộng được định nghĩa như sau:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

Đó là phép cộng ma trận thông thường. Phép nhân với vô hướng được định nghĩa tương tự:

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

Với các phép toán định nghĩa như trên, tập hợp tất cả các ma trận ℝ^{m × n} tạo thành một không gian vectơ. Điều quan trọng là luôn phải lấy tập hợp tất cả các ma trận cùng cỡ. Nếu lẫn vào một ma trận khác cỡ, chẳng hạn thêm vào ℝ^{2 × 2} một ma trận cỡ 3 × 1, thì sẽ gặp rắc rối, vì ma trận cỡ 3 × 1 thậm chí không cộng được với ma trận cỡ 2 × 2.

Bây giờ lẽ ra ta lại phải kiểm tra rằng không gian vectơ định nghĩa như trên thoả mãn cả 7 điều kiện đặt ra cho không gian vectơ. Vì với ma trận sẽ phải viết mỏi tay (nhất là người viết bài này), nên ta chỉ trình bày ngắn gọn:

Cộng hai ma trận cho ta một ma trận mới cùng cỡ. Nhân với vô hướng cũng cho ta một ma trận mới cùng cỡ, nên kết quả của các phép toán vẫn nằm trong tập hợp đang xét.

x + y = y + x: phép cộng ma trận hiển nhiên có tính chất giao hoán, vì phần tử ở vị trí ij của ma trận tổng có dạng x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

(x + y) + z = x + (y + z): phép cộng ma trận cũng có tính chất kết hợp, vì (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
a · (b · x) = (a · b) · x: một lần nữa, a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
a · (x + y) = a · x + a · y: với các phần tử ở vị trí ij ta lại có đẳng thức: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
(a + b) · x = a · x + b · x: lại chỉ cần viết phần tử ở vị trí ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
1 · x = x: vì 1 · x_ij = x_ij nên điều kiện này cũng đúng.
Sự tồn tại vectơ-không. Đó là ma trận-không, vì với mọi ma trận x của không gian vectơ này ta có 0 · x_ij = 0

Không gian vectơ các đa thức

Đa thức, kí hiệu p(x), là biểu thức có dạng:

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

Giả sử a_n ≠ 0. Khi đó bậc của đa thức này đúng bằng n. Các số thực a₀, …, a_n gọi là các hệ số của đa thức. Ví dụ về đa thức là biểu thức 4 + 3x − 7x², với a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 và bậc của đa thức bằng 2. Một số hệ số có thể bằng 0, chẳng hạn biểu thức x² + π x⁷ là đa thức bậc 7 với a₂ = 1, a₇ = π, còn các hệ số khác bằng 0.

Cộng các đa thức rất đơn giản — chỉ cần cộng các hệ số của chúng. Ví dụ:

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

Tổng quát, có thể định nghĩa phép cộng đa thức như sau:

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

trong đó q là số lớn nhất trong hai số m và n. Tích của đa thức p(x) với số k thu được bằng cách nhân tất cả các hệ số với số k:

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

Minh hoạ:

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

Tập hợp tất cả các đa thức, kí hiệu là P(X), với các phép cộng và phép nhân định nghĩa như trên tạo thành một không gian vectơ. Kiểm tra:

Tổng của hai đa thức lại là một đa thức, nhân với vô hướng cũng cho một đa thức mới. Như vậy kết quả của các phép toán vẫn nằm trong tập hợp đang xét.

7 tính chất còn lại mà không gian vectơ phải thoả mãn, bạn có thể tự kiểm tra như bài tập về nhà. Chứng minh thực tế giống như với ma trận ở trên, chỉ khác là thay cho x_ij ta viết x_i. Vectơ-không của không gian này là đa thức p(x) = 0.

Với ma trận, ta đòi hỏi không gian vectơ chỉ gồm các ma trận cùng cỡ, nhưng với đa thức thì ta không đòi hỏi điều tương tự. Thậm chí không thể đòi hỏi như vậy. Nếu lấy tập hợp tất cả các đa thức bậc hai thì tập hợp này không tạo thành không gian vectơ. Vì sao? Ta chỉ ra bằng một phản ví dụ. Cộng hai đa thức sau:

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

Vì đa thức thứ nhất có 3x² còn đa thức thứ hai có −3x² nên sau khi cộng ta được 0x², và bậc của đa thức giảm xuống. Đa thức 2 + 4x là đa thức bậc 1, không phải bậc 2.

Mục lục: Không gian vectơ, Ví dụ về không gian vectơ, Không gian vectơ con, Tổ hợp tuyến tính của các vectơ, Bao tuyến tính, Cơ sở của không gian vectơ, Số chiều của không gian vectơ, Ma trận chuyển cơ sở

« Bài trước: Không gian vectơ

Bài tiếp: Không gian vectơ con »

Ví dụ về không gian vectơ

Không gian vectơ Rn

Không gian vectơ các ma trận cỡ m × n

Không gian vectơ các đa thức

Không gian vectơ Rⁿ