Cơ sở của không gian vectơ

Cơ sở của không gian vectơ V là một tập vectơ độc lập tuyến tính có bao tuyến tính là không gian V.

Vì sao cần đến cơ sở của không gian vectơ

Cho không gian vectơ V và một tập con W ⊂ V sao cho bao tuyến tính ⟨W⟩ của tập hợp này bằng không gian V, tức là ⟨W⟩ = V. Ví dụ: cho W = {(1; 0); (0; 1); (2; 3)} và V = ℝ².

Rõ ràng ⟨W⟩ = ℝ². Tập hợp W chỉ có 3 vectơ, nhưng nhờ bao tuyến tính, nó mô tả được cả tập hợp vô hạn các vectơ ℝ². Câu hỏi đặt ra là: có thể bỏ bớt vectơ khỏi tập hợp W mà vẫn giữ được tính chất ⟨W⟩ = ℝ² không?

Chẳng hạn nếu bỏ vectơ cuối (2; 3), ta được tập hợp W₁ = {(1; 0); (0; 1)}. Bao tuyến tính của tập hợp này vẫn là ℝ². Từ đó nảy ra câu hỏi: tập vectơ nhỏ nhất có bao tuyến tính là ℝ² là tập nào?

Nếu bỏ khỏi W₁ một trong hai vectơ còn lại thì tập hợp mới, kí hiệu là W₂, không còn có bao tuyến tính là ℝ². Chẳng hạn bao tuyến tính của tập hợp W₂ = {(1; 0)} là tập hợp ⟨W₂⟩ = {(a; 0) | a ∈ ℝ}. Tập hợp này chắc chắn không bằng ℝ², chẳng hạn nó không chứa vectơ (0; 1).

Vậy tập hợp W₁ = {(1; 0); (0; 1)} là tập vectơ tối thiểu có bao tuyến tính là không gian ℝ². Tiếp theo có thể đặt thêm các câu hỏi:

1. Có tồn tại một tập hợp một phần tử hoàn toàn khác có bao tuyến tính là không gian ℝ² không?
2. Có tồn tại một tập vectơ nhỏ nhất duy nhất có bao tuyến tính là không gian ℝ² không?

Báo lá cải thường có quy luật: nếu tiêu đề bài báo là một câu hỏi thì câu trả lời là không, và ở đây cũng vậy. Không tồn tại tập hợp một phần tử có bao tuyến tính là ℝ². Có thể chứng minh như sau:

Có tập hợp một phần tử nào có bao tuyến tính là ℝ² không?

Giả sử tồn tại tập hợp {x} gồm một vectơ x mà mọi tổ hợp tuyến tính của nó tạo thành không gian ℝ². Khi đó phải tồn tại các số thực a₁, a₂ sao cho

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1;0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0;1)\end{array}$$

Vì sao lại chọn đúng các vectơ này? Chọn vectơ nào cũng được, miễn là chúng độc lập tuyến tính.

Đặt x = (x₁; x₂). Khi đó chắc chắn x₁, x₂ ≠ 0, vì nếu x₁ = 0 thì khó có tổ hợp tuyến tính nào của vectơ x cho ta vectơ (1; 0) như mong muốn. Với x₂ cũng vậy. Viết chi tiết hệ trên:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1;x_2)& =& (1;0)\\ a_2\cdot (x_1;x_2)& =& (0;1)\end{array}$$

Viết thành các phương trình:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Từ phương trình thứ hai và thứ ba suy ra a₁ = a₂ = 0: nếu x₁, x₂ ≠ 0 thì muốn các tích a₁ · x₂ và a₂ · x₁ bằng 0, chỉ còn khả năng a₁ = a₂ = 0. Nhưng điều này mâu thuẫn với phương trình thứ nhất và thứ tư: nếu a₁ = 0 thì a₁ · x₁ = 0, trong khi phương trình thứ nhất cho a₁ · x₁ = 1.

Vậy không có tập hợp một phần tử nào có bao tuyến tính là không gian ℝ².

Có tập vectơ nhỏ nhất duy nhất có bao tuyến tính là ℝ² không?

Ta biết không có tập hợp một phần tử nào có tính chất này, và biết rằng tập hợp W = {(1; 0); (0; 1)} có bao tuyến tính là ℝ². Câu hỏi là: đây có phải tập hợp 2 phần tử duy nhất có bao tuyến tính là ℝ² không?

Tất nhiên là không, vì tập hợp 2 phần tử khác W = {(2; 0); (0; 2)} cũng có bao tuyến tính là ℝ². Mọi cặp vectơ (a; 0), (0; a), với a ∈ ℝ, a ≠ 0, đều có bao tuyến tính là ℝ². Thực ra mọi cặp vectơ độc lập tuyến tính đều có bao tuyến tính là ℝ². Như vậy có vô số tập hợp 2 phần tử mà bao tuyến tính của chúng sinh ra ℝ².

Đồng thời, mọi tập con 3 phần tử W₃ ⊆ ℝ² đều gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính. Vì sao? Với 3 vectơ (a; b), (c; d), (e; f), ta có thể viết chúng vào một ma trận:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Ma trận này có hạng không vượt quá 2, nên nhất định có một cột/vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Định nghĩa cơ sở của không gian vectơ

Cho không gian vectơ V và B ⊆ V. Ta nói B là cơ sở của không gian vectơ V nếu:

1. ⟨B⟩ = V
2. B là một tập vectơ độc lập tuyến tính.

Cơ sở là một tập vectơ độc lập có bao tuyến tính là không gian V. Như vậy cơ sở là tập vectơ tối thiểu có bao tuyến tính là không gian V. Nếu bỏ khỏi cơ sở một phần tử thì bao tuyến tính không còn là không gian V nữa. Nếu thêm vào một vectơ thì vectơ đó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Trong không gian ℝⁿ, tập các bộ n số (1; 0; …; 0), (0; 1; 0; …; 0), …, (0; 0; …; 0; 1) là một cơ sở của không gian ℝⁿ, gọi là cơ sở chính tắc. Chẳng hạn với ℝ³ ta được cơ sở chính tắc (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Khi đó vectơ (a; b; c) được biểu diễn thành tổ hợp

$$a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0)+c\cdot (0;0;1)$$

Nếu bỏ vectơ (0; 1; 0) thì bao tuyến tính của tập hợp mới không còn là ℝ³. Nếu thêm vectơ (14; −2; 5) thì vectơ này là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại với các hệ số a = 14, b = −2, c = 5.

Các tính chất cơ bản của cơ sở

• Mọi không gian tuyến tính V đều có cơ sở; với không gian tầm thường {0} — không gian chỉ chứa một vectơ là vectơ-không — cơ sở là tập rỗng. Mọi tập độc lập tuyến tính B₀ ⊆ V hoặc là một cơ sở của không gian V, hoặc có thể bổ sung thành cơ sở. Nếu B₀ không phải là cơ sở, tức là ⟨B₀⟩ ≠ V, thì tồn tại một vectơ x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Vectơ này không phải tổ hợp của các vectơ thuộc B₀. Thêm nó vào tập hợp B₀, ta được tập hợp mới B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Một lần nữa, B₁ hoặc là cơ sở, hoặc có thể bổ sung thành cơ sở. Nếu không gian V có cơ sở hữu hạn thì sau hữu hạn bước ta được một tập vectơ độc lập B_n là cơ sở của không gian V.

• Cơ sở của một không gian không duy nhất: luôn có nhiều cơ sở.

• Mọi cơ sở của một không gian vectơ đều có cùng số phần tử/vectơ, hoặc đều vô hạn. Chẳng hạn mọi cơ sở của không gian ℝ² đều có 2 vectơ; không có tập hợp 3 phần tử hay tập hợp một phần tử nào là cơ sở của không gian ℝ².

• Nếu B = {e₁; …; e_n} là một cơ sở của không gian V thì mọi vectơ x của không gian V đều biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở, tức là tồn tại các hệ số thực a₁, …, a_n sao cho

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Hơn nữa, các hệ số này là duy nhất. Tức là nếu với các hệ số b₁, … b_n ta có

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  thì nhất định a₁ = b₁, …, a_n = b_n.