Линейна комбинация на вектори

Линейната комбинация е начин да съставим от определено множество вектори нов вектор само с помощта на събиране и умножение.

Какво е линейна комбинация

Нека имаме някакво векторно пространство V. Знаем, че пространството е затворено относно операцията събиране на вектори, така че за два вектора x, y ∈ V винаги е изпълнено, че x + y ∈ V. Ако съберем два вектора, получаваме отново вектор от същото пространство. Същото важи и за умножението със скалар. Ако имаме някакво k ∈ ℝ, то и k · x ∈ V.

Двете операции можем да комбинираме – вземаме k, l ∈ ℝ и изразът k · x + l · y ни дава отново нов вектор, нека го означим с v, и този вектор v отново ще лежи в пространството V. Защо? k · x ∈ V и със сигурност l · y ∈ V. Събираме два вектора на пространството V, така че по определение трябва да получим вектор от пространството V.

Можем да кажем, че векторът v е линейна комбинация на векторите x и y. В общия случай: ако имаме вектори x₁, x₂, …, x_n и реални числа k₁, k₂, …, k_n, които наричаме коефициенти, линейна комбинация на тези вектори е векторът v, който получаваме като

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Пример: нека вземем пространството ℝ² и от него два вектора: (2; 3) и (0; 8). Сега избираме коефициентите: k₁ = 2, k₂ = 5. С линейната комбинация на тези вектори с коефициенти k₁, k₂ получаваме вектора

$2 \cdot (2; 3) + 5 \cdot (0; 8) = (4; 6) + (0; 40) = (4; 46)$

Виждаме, че получихме вектора (4; 46), който е част от пространството ℝ². Ако изберем други коефициенти, ще получим друг вектор. За k₁ = 0, k₂ = −1 имаме:

$0 \cdot (2; 3) - 1 \cdot (0; 8) = (0; 0) + (0; - 8) = (0; - 8)$

Линейно зависими вектори

С линейните комбинации са свързани линейно зависимите или линейно независимите вектори. Ще го покажем с пример: нека имаме векторното пространство ℝ² и множеството от вектори Q от това пространство:

$Q = {(1; 1), (2; 4), (3; 5), (10; 18)}$

Сега ни интересува въпросът дали можем да изразим някой от тези четири вектора като линейна комбинация на останалите три вектора. Като се вгледаме във векторите, виждаме, че векторът (3; 5) е равен на простия сбор на първите два вектора.

$(1; 1) + (2; 4) = (3; 5)$

Векторът (3; 5) е следователно линейна комбинация на векторите (1; 1) и (2; 4). За да ни е по-интересно, ще премахнем този вектор от множеството Q. Получаваме ново множество Q₁, което има вида:

$Q_{1} = {(1; 1), (2; 4), (10; 18)}$

Ще намерим ли там още някой вектор, който е линейна комбинация на останалите? Да, векторът (10; 18) е линейна комбинация на първите два вектора за k₁ = 2, k₂ = 4:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) = (2; 2) + (8; 16) = (10; 18)$

Отново премахваме този вектор, получаваме:

$Q_{2} = {(1; 1), (2; 4)}$

Питаме се отново – можем ли да получим един от векторите като комбинация на другия? Не можем, никое кратно на вектора (1; 1) няма да е равно на вектора (2; 4).

Получихме множество от вектори, в което никой от векторите не можем да изразим като линейна комбинация на останалите вектори. Такова множество наричаме линейно независимо множество от вектори. Ако един вектор може да се изрази като комбинация на останалите, говорим за него като за линейно зависим вектор. Ако не може да се изрази, говорим за него като за линейно независим вектор.

Нулев вектор

Нулевият вектор 0 играе важна роля в линейната зависимост. Да се върнем към множеството от вектори Q₁ и към пространството ℝ². Множеството Q₁ изглежда така:

$Q_{1} = {(1; 1), (2; 4), (10; 18)}$

и вече знаем, че векторът (10; 18) е зависим, защото 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) = (10; 18). Какво би станало, ако от израза 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) извадим вектора (10; 18)? Или по-точно, ако прибавим неговото −1-кратно? Би изглеждало така:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18)$

Този израз със сигурност би бил равен на нулевия вектор:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18) = (0; 0)$

От това можем да заключим едно интересно свойство. Ако множеството от вектори x₁, x₂, …, x_n е линейно зависимо, съществуват реални коефициенти a₁, a₂, …, a_n, такива че

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

При това поне един коефициент a_i трябва да е ненулев. Ако заместим всички коефициенти с нула, бихме получили винаги вярно равенство и следователно бихме получили, че всяко множество от вектори е линейно зависимо, което очевидно е абсурд. Обосновката на предишното равенство е проста. Ако например векторът x₁ е линейно зависим, това означава, че

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

Към това равенство е достатъчно да прибавим −x₁ и получаваме

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Как да установим дали векторите са зависими

Ако имаме вектори x₁, x₂, …, x_n и искаме да установим дали са линейно (не)зависими, е достатъчно да решим споменатото равенство

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

тоест да намерим коефициентите a_i. Ако работим в пространството ℝ³, бихме могли да имаме тези вектори: (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5). Тъй като искаме да установим дали са зависими, решаваме това уравнение:

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Това уравнение просто разписваме според определението за събиране на вектори и умножение на вектори. Изпълнено е, че a₁ · (1; 2; 3) = (a₁; 2a₁; 3a₁) и т.н. Разписваме така:

$(a_{1}; 2 a_{1}; 3 a_{1}) + (2 a_{2}; a_{2}; 7 a_{2}) + (a_{3}; - 4 a_{3}; 5 a_{3}) = (0; 0; 0)$

Сега разписваме събирането. Събираме винаги компонентите на едни и същи позиции, така че събираме първата компонента на първия вектор a₁ с първата компонента на втория вектор 2a₂ с първата компонента на третия вектор a₃ и всичко това трябва да е равно на първата компонента на нулевия вектор, тоест на нула. И същото за втората и третата компонента. Получаваме система линейни уравнения:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Тази система можем да запишем в обикновена матрица:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Обърни внимание, че в стълбовете на тази матрица всъщност са първоначалните вектори. В първия стълб на матрицата е първоначалният вектор (1; 2; 3), в третия е векторът (1; −4; 5) и т.н. Затова при пресмятането не е нужно всеки път да извършваш всички тези сложни преобразувания, тази матрица образуваш, като наредиш в стълбовете векторите, за които трябва да установиш дали са зависими, и после добавиш нулев стълб.

Системата можем да решим по метода на Гаус. Преобразуваме матрицата в стъпаловиден вид. Първо прибавяме към втория ред −2-кратното на първия ред, а към третия прибавяме −3-кратното на първия ред:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Сега можем да прибавим към втория ред 3-кратното на третия ред:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

По-нататък дори не е нужно да пресмятаме, успяхме да анулираме един ред, което показва, че векторите са линейно зависими. Можем обаче да доизчислим системата. Избираме параметър a₃ = t. Тогава от уравнението

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

което е последният ред на матрицата, получаваме със заместване на a₃ = t уравнението:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Сега заместваме тези стойности в първото уравнение, тоест в първия ред на матрицата:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Имаме a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Ако вместо t заместим например t = 3, получаваме едно конкретно решение a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Тези коефициенти можем да заместим в първоначалното уравнение

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

и получаваме:

$9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Преобразуваме лявата страна:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) & = & (0; 0; 0) \\ (9; 18; 27) + (- 12; - 6; - 42) + (3; - 12; 15) & = & (0; 0; 0) \\ (9 - 12 + 3; 18 - 6 - 12; 27 - 42 + 15) & = & (0; 0; 0) \\ (0; 0; 0) & = & (0; 0; 0) \end{array}$

Виждаме, че ако изберем за коефициенти например a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, получаваме от векторите (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5) нулевия вектор. Ако системата имаше само единствено, нулево, решение, векторите щяха да са линейно независими.

Глави: Векторни пространства, Примери за векторни пространства, Векторно подпространство, Линейна комбинация на вектори, Линейна обвивка, Базис на векторно пространство, Размерност на векторно пространство, Матрица на прехода

« Предишна: Векторно подпространство

Следваща: Линейна обвивка »