Tính chất giao hoán

Tính chất giao hoán là tính chất của những phép toán như phép cộng. Có thể nhận thấy rằng với phép cộng, thứ tự không quan trọng: 3 + 5 cũng bằng 5 + 3. Cộng hai số thực bất kì a + b, kết quả vẫn như vậy khi ta đổi chỗ hai số hạng: b + a. Nếu một phép toán thoả mãn điều kiện này, ta nói phép toán đó có tính chất giao hoán.

Một ví dụ khác về phép toán có tính chất giao hoán là phép nhân, vì 2 · 6 có cùng kết quả với 6 · 2, và điều đó đúng với hai số bất kì a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Một ví dụ về phép toán không có tính chất giao hoán là phép trừ, vì 7 − 4 khác 4 − 7. Trường hợp thứ nhất cho kết quả 3, trường hợp thứ hai cho −3. Một ví dụ khác là phép chia, vì 2 / 5 khác 5 / 2.

Tuy nhiên cần chú ý đến các quy tắc khác, chẳng hạn thứ tự thực hiện phép tính. Với biểu thức 1 + 2 · 3, ta không thể nói biểu thức này bằng 2 + 1 · 3, vì phép nhân được thực hiện trước phép cộng. Có thể dùng dấu ngoặc cho rõ: biểu thức 1 + 2 · 3 bằng 1 + (2 · 3). Muốn áp dụng tính chất giao hoán của phép cộng thì được, nhưng phải chuyển cả dấu ngoặc đi cùng: 1 + (2 · 3) bằng (2 · 3) + 1, và nếu áp dụng thêm tính chất giao hoán của phép nhân thì biểu thức này bằng (3 · 2) + 1.

Phép toán trên tập hợp và tính chất giao hoán

Không chỉ phép toán trên các số mới có thể có tính chất giao hoán, mà phép toán trên tập hợp cũng vậy. Ví dụ phép giao của hai tập hợp A và B có tính chất giao hoán. Giao của hai tập hợp gồm “các phần tử thuộc cả hai tập hợp”, nên

$$A\cap B=B\cap A$$

Hoàn toàn tương tự với phép hợp của hai tập hợp A và B, có kết quả là “các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp”, nên:

$$A\cup B=B\cup A$$

Phép lấy hiệu của hai tập hợp chẳng hạn thì không có tính chất giao hoán.

Vectơ

Một phép toán khác có tính chất giao hoán thuộc về các phép toán với vectơ, đó là phép cộng vectơ. Nói chung, phép cộng thường có tính chất giao hoán. Trong trường hợp này, với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ ta có

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Hình sau minh hoạ điều đó:

Tổng $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là “đường phía trên”: trước hết đi theo vectơ màu đỏ $\overrightarrow{u}$, sau đó đi theo vectơ màu xanh dương $\overrightarrow{v}$. Tổng $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ là “đường phía dưới”: trước hết đi theo vectơ màu xanh dương $\overrightarrow{v}$, sau đó theo vectơ màu đỏ $\overrightarrow{u}$. Kết quả vẫn như nhau: cả hai cách đều kết thúc tại cùng một điểm.

Có thể hình dung giống như khi bạn xuất phát từ một chỗ nào đó, đi 50 mét về phía bắc rồi 20 mét về phía tây. Nếu trước hết đi 20 mét về phía tây rồi 50 mét về phía bắc, bạn sẽ đến đúng chỗ đó. Cách đi như vậy có tính chất giao hoán.

Lôgic

Các phép toán lôgic “và” (phép hội) và “hoặc” (phép tuyển) cũng có tính chất giao hoán. Điều đó có nghĩa là mệnh đề “số 5 là số lẻ và là số nguyên tố” có cùng giá trị chân lí với mệnh đề “số 5 là số nguyên tố và là số lẻ”. Tương tự với phép tuyển: “số 6 là số nguyên tố hoặc là số chẵn” có cùng giá trị chân lí với mệnh đề “số 6 là số chẵn hoặc là số nguyên tố”.

Nhưng mệnh đề kéo theo không có tính chất giao hoán: mệnh đề “nếu tôi trúng xổ số thì tôi sẽ giàu” khác với “nếu tôi giàu thì tôi sẽ trúng xổ số”.