Tính chất kết hợp

Tính chất kết hợp là tính chất của những phép toán như phép cộng hoặc phép nhân. Hãy xem hai cách viết phép cộng sau:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Hai biểu thức chỉ khác nhau ở vị trí dấu ngoặc. Nhưng kết quả có khác nhau không? Cả hai biểu thức cho cùng một kết quả, tổng luôn bằng 6. Nếu vị trí dấu ngoặc không ảnh hưởng đến kết quả, ta nói phép toán có tính chất kết hợp. Chính xác hơn, phép toán a ∘ b có tính chất kết hợp nếu

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Một phép toán khác có tính chất kết hợp là phép nhân, vì

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Các phép toán không có tính chất kết hợp

Phép trừ không có tính chất kết hợp. Ví dụ, xét biểu thức (10 − 4) − 3. Trước hết tính hiệu trong ngoặc, ta được 6 − 3, bằng 3. Nhưng nếu tính 10 − (4 − 3), ta cũng tính trong ngoặc trước và được 10 − 1, bằng 9. Vậy phép trừ không có tính chất kết hợp.

Tương tự, phép chia không có tính chất kết hợp. Ví dụ, xét biểu thức (64 / 4) / 2. Trước hết tính trong ngoặc, ta được 16/2, bằng 8. Nhưng nếu đặt dấu ngoặc ở chỗ khác, ta có 64 / (4 / 2), tính trong ngoặc xong được 64 / 2, bằng 32. Vậy phép chia không có tính chất kết hợp.

Một phép toán điển hình khác không có tính chất kết hợp là phép nâng lên luỹ thừa:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Tính chất kết hợp chỉ nói về một phép toán!

Cần chú ý rằng tính chất kết hợp luôn chỉ nói về một phép toán. Nếu biểu thức có ba số nhưng không cùng một phép toán thì không thể áp dụng tính chất kết hợp. Ví dụ:

$$(1+2)\cdot 3$$

Biểu thức này có hai phép toán: phép cộng và phép nhân. Mỗi phép toán đều có tính chất kết hợp, nhưng ở đây vẫn không thể áp dụng tính chất kết hợp, không thể biến đổi thành

$$1+(2\cdot 3)$$

vì biểu thức có hai phép toán khác nhau. Muốn áp dụng tính chất kết hợp, cả hai phép toán phải cùng là phép cộng hoặc cùng là phép nhân.

Phép giao và phép hợp

Phép giao của hai tập hợp có tính chất kết hợp. Ví dụ, biểu thức

$$(\{1;2;3\}\cap \{1;3;5\})\cap \{1;5;7\}$$

được biến đổi bằng cách tính giao của hai tập hợp trong ngoặc trước:

$$\{1;3\}\cap \{1;5;7\}$$

Giao của hai tập hợp này bằng {1}. Nếu đặt dấu ngoặc ở chỗ khác, ta có

$$\{1;2;3\}\cap (\{1;3;5\}\cap \{1;5;7\})$$

và sau khi tính trong ngoặc:

$$\{1;2;3\}\cap \{1;5\}$$

Ta lại được {1}. Ta thấy vị trí dấu ngoặc không quan trọng, nên phép giao của các tập hợp có tính chất kết hợp. Tương tự, phép hợp của các tập hợp cũng có tính chất kết hợp.

Ghép xâu / phép nối

Hãy tưởng tượng một phép “cộng” các phần của từ, có nghĩa đơn giản là nối chúng lại. Khi đó “má” + “y” bằng từ “máy”. Phép toán như vậy có tính chất kết hợp. Ví dụ, nếu viết (“ng” + “ườ”) + “i” thì trước hết cộng trong ngoặc được “ngườ” + “i”, và kết quả là từ “người”. Nếu đặt dấu ngoặc ở chỗ khác, “ng” + (“ườ” + “i”), sau khi cộng trong ngoặc ta được “ng” + “ười”, và kết quả vẫn là từ “người”.

Phép lấy giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có tính chất kết hợp

Xét phép toán a ∨ b cho kết quả là số lớn hơn trong hai số. Phép toán này có tính chất kết hợp. Ví dụ, (5 ∨ 10) ∨ 7 được biến đổi thành 10 ∨ 7, và kết quả bằng 10. Số 10 là số lớn nhất trong ba số. Nếu đặt dấu ngoặc ở chỗ khác, ta được 5 ∨ (10 ∨ 7), sau khi biến đổi được 5 ∨ 10, kết quả vẫn là 10.

Phép lấy giá trị nhỏ nhất cũng hoàn toàn tương tự.