Tính chất phân phối

Tính chất phân phối là tính chất của hai phép toán hai ngôi, chẳng hạn phép cộng và phép nhân. Với phép nhân và phép cộng, tính chất phân phối cho phép ta “nhân phá ngoặc”. Ví dụ, với biểu thức

$$2\cdot (3+4)$$

ta biết rằng có thể nhân phá ngoặc để được một biểu thức khác

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Cả hai biểu thức đều cho cùng một kết quả là 14. Ta làm được như vậy vì trên tập số thực, phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng. Tổng quát, với hai phép toán · và +, ta nói phép toán · có tính chất phân phối đối với phép toán + trên tập hợp M nếu

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

với mọi a, b, c ∈ M. Một ví dụ khác về các phép toán có tính chất phân phối là các phép toán của lôgic mệnh đề: phép hội ∧ và phép tuyển ∨. Giả sử có các mệnh đề A, B và C. Câu “A và (B hoặc C)” được viết là

$$A\wedge (B\vee C)$$

Vì phép hội có tính chất phân phối đối với phép tuyển nên biểu thức này cũng bằng

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Nói bằng lời: “(A và B) hoặc (A và C)”. Để có cả ví dụ về các phép toán không có tính chất phân phối, ta xét phép cộng và phép trừ:

$$10-(5+3)$$

Kết quả đúng tất nhiên là 2, vì cộng trong ngoặc xong ta được 10 − 8, bằng 2. Nếu áp dụng quy tắc phân phối cho phép tính này, ta sẽ được biểu thức:

$$(10-5)+(10-3)$$

Tính trong ngoặc xong ta có 5 + 7, bằng 12. Ta thấy kết quả sai, vậy phép trừ không có tính chất phân phối đối với phép cộng.

Các ví dụ khác: một số phép toán với ma trận thoả mãn tính chất phân phối. Các vectơ trong không gian vectơ cũng vậy. Các phép toán trên một trường bắt buộc phải có tính chất phân phối.