Разпределение на вероятностите

Разпределението на вероятностите на случайна величина ни показва каква е вероятността случайната величина да има точно дадена стойност.

Разпределение на дискретна променлива

Нека имаме някаква дискретна случайна величина, например бихме могли да следим колко халби бира на ден изпива местният пияница Бамбула. Като го наблюдавахме един цял месец, построихме следната таблица:

Виждаме, че в началото на месеца Бамбула още малко се е сдържал, но после е обръщал халба след халба. А седмицата от 11. ден нататък е била направо лудост. Нека означим тази дискретна случайна величина с X. Сега ще ни интересува каква е вероятността Бамбула в някой ден от месеца да изпие точно x халби бира.

Преди да изчислим самата вероятност, построяваме обикновена честотна диаграма. Намираме всички халби бира, които Бамбула е изпил в някой ден, и ги нанасяме в честотната диаграма. Например десет халби Бамбула е изпил общо девет пъти, така че за стойността десет халби ще имаме колонка със стойност девет:

Диаграмата четем така: Бамбула е изпил шест халби три дни в месеца.

Каква е вероятността Бамбула да е изпил за един ден десет халби? Формално бихме го записали така: функцията на вероятностите означаваме с P и въпроса за десет халби записваме така: P(X = 10). С това питаме каква е вероятността случайната величина X да приема стойност десет?

Вероятността ще е равна на относителната честота на дадената стойност. Затова построяваме още диаграма на относителните честоти:

Сега можем да кажем, че P(X = 10) е равно на 0,3, т.е. 30%.

Статистическа и математическа вероятност

Нека вземем за пример класически зар. Опитай да го хвърлиш 600 пъти. От гледна точка на класическата математическа вероятност имаме еднакъв шанс да се падне 1, 2, …, 6. Всяка стена на зара се пада с вероятност $\frac{1}{6}$. Чисто теоретично всяка страна би трябвало да се падне точно сто пъти, когато хвърляме зара шестстотин пъти.

Това, разбира се, най-вероятно няма да се случи. В нашия експеримент можем да получим тези резултати:

Виждаме, че относителната честота, а следователно и вероятността, да се падне една точка на зара е 0,175, което е 17,5%. Това е близо до вероятността $\frac{1}{6}$, която е 0,16666…, но не е съвсем точно.

Това не означава, че едната или другата вероятност е грешна. Да направиш напълно идеално уравновесен зар съвсем не е лесна задача, също както може да е трудно да се проведе самият тест, при който хвърляме зара 600 пъти.

Математическата вероятност работи при идеални условия, при които бихме хвърляли зара до безкрайност. Колкото по-дълго хвърляме идеално уравновесен зар, толкова повече относителните честоти на отделните хвърляния ще се приближават към теоретичната математическа вероятност.

Затова различаваме две вероятности — математическа, която изхожда от идеализирани условия, и статистическа (наричана още емпирична), която изчисляваме от относителните честоти от нашите данни.

За да изчислим статистическата вероятност, трябва да разполагаме с достатъчно голяма съвкупност от данни. Например нашия пияница Бамбула наблюдавахме само един месец, но много по-добре би било, ако го наблюдавахме поне една година.

Разпределение на непрекъсната променлива

При непрекъснатата променлива не определяме вероятността в определена точка, а винаги само в интервал. Вероятността ще е равна на лицето на областта под кривата, така че за изчислението ще ни трябва интеграл. Можем да имаме такава графика на непрекъсната променлива, може да става дума например за измерване на някакво отклонение в cm:

На оста x имаме стойности в cm, на оста y имаме относителни честоти. Да речем, че сме измерили само стойности в интервала [−4; 4]. Емпиричната вероятност да измерим отклонение в този интервал е 1, т.е. 100%.

Как е свързано с това лицето? Казваме, че лицето ${\int }_{-4}^{4}p(x)$ , където p е функцията на вероятностите, ни показва именно тези 100%. Ако попитаме каква е емпиричната вероятност стойността да е в интервала [0; 4], ще получим такава картина:

Предишната оцветена част съответстваше на 100%, тази съответства на 50%, защото лицето очевидно е два пъти по-малко. По-точно бихме изразили статистическата вероятност като отношение

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Закон за големите числа

С предишния раздел е свързан известният закон за големите числа. Той неформално казва, че при голям брой независими опити относителната честота (статистическата вероятност) ще се приближава към математическата вероятност.

Можем да си го представим отново с хвърляне на монета. Може да се падне ези или тура, всяка страна има вероятност $\frac{1}{2}$, 50%. Ако хвърлим монетата четири пъти, може да се паднат три пъти ези и веднъж тура. Относителните честоти са $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$. Това е доста далеч от $\frac{1}{2}$.

Ако хвърлим общо десет пъти, може да се паднат седем пъти ези и три пъти тура. Това са честотите $\frac{7}{10}$ и $\frac{3}{10}$. Те все още са далеч от $\frac{1}{2}$, но тези числа вече са по-близо до една втора от предишните честоти.

Така бихме могли да продължим. Ако хвърлим монетата хиляда пъти, може да се паднат 520 пъти ези и 480 пъти тура. Това са честотите $\frac{13}{25}$ и $\frac{12}{25}$, които вече много се приближават до една втора (за представа $\frac{13}{25}=0,52$).

Забележи, че макар относителните честоти да са много по-близо до една втора, абсолютните честоти са много по-далеч от „идеалната“ честота. Когато хвърлихме монетата десет пъти, идеалната абсолютна честота при всяка страна беше 5. Тоест пет пъти да се падне ези и пет пъти тура. Тъй като ези се падна седем пъти, това дава разлика от две хвърляния: 7 − 5 = 2. Хвърлили сме „с две хвърляния различно“ от това, което би станало в идеалната ситуация.

Когато обаче хвърлихме монетата хиляда пъти, ези се падна 520 пъти, което дава разлика от 20 хвърляния от идеала, защото в идеалния случай всяка страна трябваше да се падне 500 пъти. Изглежда, че колкото повече пъти хвърляме, толкова по-далечни резултати получаваме.

Това обаче съвсем не пречи, законът за големите числа не твърди, че ще се приближаваме към идеала на абсолютната честота, а към този на относителната. И те се приближават. Тоест по абсолютни честоти може би ще се отдалечаваме, но по относителни ще се приближаваме.