Системи уравнения

На практика често се сблъскваме със случай, при който не решаваме едно уравнение, а две уравнения едновременно (или дори повече). Първо ще покажем как да решим такава система уравнения с метода на заместването. За решаване на системи уравнения с помощта на матрици виж статията системи линейни уравнения.

Основи

Системата уравнения се състои от няколко уравнения, които решаваме заедно. В системата уравнения обикновено имаме и повече от една променлива и се опитваме да намерим такава комбинация от числа, че когато ги заместим вместо всички променливи, всички уравнения да са изпълнени.

Пример за система уравнения е тази система:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Решението на тази система трябва да е двойка (или множество от двойки) числа, която заместваме вместо променливите a и b, при което двете уравнения остават верни. Някак на око виждаме, че променливата a трябва да е равна на −b, за да е изпълнено уравнението a + b = 0. Като знаем това, от второто уравнение лесно виждаме, че a = 10 и b = −10. След заместването получаваме:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Добре, с решаването на око приключихме, сега да се захванем с няколко работещи метода за решаване на системи уравнения.

Метод на заместването

В метода на заместването изразяваме едно от неизвестните в едно уравнение и после заместваме получения израз във второто уравнение. За начало ни трябва някаква система. Например тази:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Това е проста система от две уравнения с две неизвестни. Задачата ни е да намерим x и y така, че двете уравнения да са изпълнени. От първото уравнение изразяваме y. Вземаме само първото уравнение и изразяваме y.

$4 x + 2 y = 6$

Първо изваждаме 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Разделяме на две:

$y = 3 - 2 x$

Сега знаем на какво е равно y. Този израз можем да заместим вместо променливата y във второто уравнение. Значи във второто уравнение вместо y пишем 3 − 2x. Какво постигаме с това? Постигаме това, че във второто уравнение няма да имаме две променливи, а само една, защото на мястото на променливата y заместваме израз, който съдържа само променливата x. И така, заместваме:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Сега само разкриваме скобата и събираме каквото може да се събере:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Сега знаем стойността на x, тя е равна на две. Остава да пресметнем стойността на y. Правим го, като заместим вече известната стойност на x в някое уравнение, което съдържа и двете променливи – и x, и y. Можем да изберем например най-първото уравнение. Заместваме така:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

С това решихме системата. Системата уравнения има единствено решение и то е x = 2 и y = −1. Ако искаш да провериш този резултат, просто замести в двете уравнения. Заместване в първото уравнение:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

И заместване във второто уравнение:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Метод на събирането

Аз предпочитам този метод, но, разбира се, всичко зависи от конкретния пример. Не винаги е подходящ. Методът на събирането се основава на това, че при решаването на системи уравнения събирането на уравнения е еквивалентно преобразуване. Уравненията събираме, като събираме лявата страна на едното уравнение с лявата страна на другото уравнение и после събираме дясните страни на уравненията. Нека имаме следната система уравнения в общ вид:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Като съберем тези уравнения, бихме получили едно-единствено уравнение:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Събрахме лявите страни отделно и дясните страни отделно. Но каква ще е целта ни? Ако съберем две уравнения и ни останат две променливи, няма много да си помогнем. Затова се стараем след събирането на двете уравнения да изчезне едната променлива, т.е. членовете с нея взаимно да се съкратят. Следователно се стремим сборът на една от двойките функции, или f, или g, да е нула:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Как постигаме това? Системата уравнения съдържа обикновени уравнения, към които можем да прилагаме еквивалентни преобразувания на уравнения, така както ги познаваме от обикновените видове уравнения. Затова можем да умножим някое от уравненията по някакво число и валидността му не се променя. Да опитаме да решим предишната система уравнения с метода на събирането. Условието е същото:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Ако съберем уравненията веднага, ще ни останат двете променливи:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Затова първо трябва да приложим някакви преобразувания. Ще се опитаме да накараме променливата y да „изчезне“. За целта коефициентът пред y в двете уравнения трябва да е еднакъв с изключение на знака – той трябва да е противоположен. Затова търсим най-малкото общо кратно, което е 6. Прост начин е да умножим коефициентите: две по три е шест – така числото шест със сигурност се дели на двете числа (забележка: този начин не гарантира най-малкото общо кратно, но намира число, което се дели на двата коефициента).

Сега искаме да получим шестица пред y във всяко уравнение. Затова умножаваме първото уравнение по три, а второто по две:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Получаваме:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Сега събираме уравненията:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Така получихме едно уравнение с едно неизвестно, което вече умеем лесно да решаваме:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Виждаме, че ни излезе същият резултат, както при предишния метод, метода на заместването. Сега само отново бихме заместили x в някое уравнение и бихме получили резултата y = −1. Проверката също би била съвсем същата.

Брой на решенията

Системата уравнения не винаги има точно едно решение. Може да има и безбройно много решения, или обратно, нито едно решение. Само накратко кога се случва това. Ако имаме две уравнения с две неизвестни и едното от тях можем да получим от другото, като приложим към него някакви еквивалентни преобразувания, системата има безбройно много решения. Пример е системата

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Виждаме, че ако умножим първото уравнение по две, получаваме точно второто уравнение. Следователно второто уравнение не ни носи никаква „нова информация“ за системата, така че практически е излишно. В резултат всяко решение на уравнението

$x + y = 2$

е същевременно решение на цялата система. Например двойките (1; 1) или (−3; 5) са решения на първото уравнение и същевременно на цялата система.

Системата няма решение, ако в нея има някакви противоречиви уравнения, които не могат да са изпълнени едновременно. Например:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Не може едновременно сборът x + y да е равен на две и на четири, затова системата няма решение. Още няколко примера:

Първи пример

Реши следната система от две уравнения с две неизвестни:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

При бърз поглед върху системата виждаме, че е кандидат за метода на събирането. Коефициентът пред x във второто уравнение е два пъти по-голям, отколкото в първото уравнение, а коефициентът пред y във второто уравнение е три пъти по-голям. Следователно е достатъчно да умножим първото уравнение или по минус две, или по минус три и да съберем уравненията. Ще опитаме да елиминираме например променливата x, затова умножаваме първото уравнение по −2. Получаваме:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Събираме тези две уравнения и получаваме

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Имаме първата част от решението на системата. Заместваме тази стойност в някое уравнение, например отново в най-първото:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Така получихме решението на системата уравнения, x = 9 и y = −14.

Втори пример

Реши следната система от две уравнения с две неизвестни:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Това изглежда малко страшно, но ще се справим. Най-напред трябва да разкрием скобите, без това няма да стигнем доникъде.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Сега привеждаме уравненията в по-удобен вид: прехвърляме членовете с променливите в лявата страна, а свободните членове в дясната, и привеждаме подобните членове.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Сега вече от тези грозно изглеждащи уравнения получихме доста удобна система уравнения и можем да приложим някой от класическите методи. Можем например да умножим второто уравнение по две и да го съберем с първото уравнение. След умножението на второто уравнение по две получаваме:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Сега събираме двете уравнения с класическия метод на събирането:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Отлично, вече знаем един резултат. Заместваме тази стойност в някое от уравненията и пресмятаме y. Можем да заместим например в уравнението 2x− 3y = −13 и получаваме:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Сега вече имаме пълното решение на системата уравнения: x = 4 и y = 7.

« Предишна: Тригонометрични неравенства

Следваща: Числа »