Rødder

En rod er en delvis omvendt funktion til potensen. Oftest arbejder vi med kvadratroden, som finder det tal, der ganget med sig selv giver det oprindelige tal, som vi tog roden af.

Kvadratrod

Til roden bruges tegnet $\sqrt{}$, og for at vi ikke behøver at skrive rodens argument i parentes på denne måde: $\sqrt{}$(25), trækkes der en vandret streg over hele argumentet (udtrykket, som vi vil tage roden af), sådan her: $\sqrt{25}$.

I begyndelsen beskæftiger vi os kun med kvadratroden af et reelt tal. Den ville vi definere sådan her:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Hvis du ganger kvadratroden af tallet a med kvadratroden af tallet a, får du tallet a. Så for tallet 9 ville kvadratroden være lig med 3, fordi det gælder, at 3 · 3 = 9.

Det foregående udtryk kan vi også skrive sådan her:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Det er bare en anden skrivemåde for den foregående multiplikation, nemlig ved hjælp af en potens.

Det afgørende er, at denne ligning kun gælder for de a, som ligger i kvadratrodens definitionsmængde. Det gælder nemlig, at vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Vi kan tage kvadratroden af ethvert positivt tal, vi kan tage kvadratroden af nul, men kvadratroden af et negativt tal kan vi ikke finde? Hvorfor kan det ikke lade sig gøre?

Antag, at vi vil beregne kvadratroden af −25. Vi har i princippet to muligheder for, hvilket tal vi skal vælge. Enten et positivt eller et negativt. Hvis vi vælger et positivt, har vi 5 · 5 = 25. Vi fik godt nok 25, men vi vil have −25. Vi prøver så at vælge −5; men efter multiplikationen har vi igen 25. Kort sagt: hvis du ganger to negative tal, får du et positivt tal. Det samme gælder, når du ganger to positive tal. Du ville skulle gange −5 · 5 for at få −25, og det går ikke, for du ganger to forskellige tal, selv om de kun er forskellige i fortegnet. Derfor kan man ikke beregne kvadratroden af et negativt tal.

Højere rødder

Ligesom vi kan opløfte et udtryk i anden, i tredje og i fjerde potens, kan vi også have tredje rod, fjerde rod og til sidst n'te rod af et reelt tal. Det skrives som regel over rodtegnet i den lille krog, sådan her:

$$\sqrt[5]{32}$$

Denne skrivemåde betyder femte rod af tallet toogtredive. n'te rod definerer vi ved hjælp af n'te potens sådan her:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Hvis vi sætter n til to, får vi kvadratroden, som vi definerede den før. Kortere kunne vi også definere det sådan her:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Der gælder den konvention, at for kvadratroden behøver vi ikke skrive totallet, så disse skrivemåder er ensbetydende:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

For eksempel ville der for fjerde rod gælde:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Og et konkret eksempel:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Og omvendt gælder 4 · 4 · 4 = 64.

Rod af et negativt tal

Vi ved allerede, at kvadratroden af et negativt tal ikke findes, fordi a², hvor a er et reelt tal, aldrig bliver negativt. Men ved højere rødder ganger vi ikke kun to gange, så der kan opstå tilfælde, hvor n'te rod af et negativt tal findes. Hvordan forholder det sig så?

Det var et problem, at når vi ganger et negativt tal to gange, får vi et positivt tal. For resultatet −25 skulle vi bruge produktet −5 · 5. Men hvad sker der, når vi ganger tre negative tal? Efter at have ganget de to første negative tal har vi et positivt tal. Men efter at have ganget med det sidste negative tal har vi igen et negativt tal. Hvis vi ganger endnu en gang (i alt fire gange), er vi tilbage ved de positive tal.

Konklusionen er, at når vi ganger et negativt tal n gange, er det resulterende produkt positivt, hvis n er lige, og negativt, hvis n er ulige. Heraf udleder vi, at n'te rod af et negativt tal findes, når n er ulige. Eksempel:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Omskrivning til potens

Rødder kan vi nemt omskrive til potenser, og det gøres ofte, fordi det er lettere at regne med potenser. Der gælder følgende sammenhæng:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Hvis vi har n'te rod af a, er det det samme, som hvis vi opløftede a i potensen 1/n. Det kan også komme dig til nytte, når du skal indtaste en højere rod end kvadratroden et sted. Det går ofte ikke direkte, men man kan skrive en brøk i eksponenten. Hvis du vil have tegnet grafen for fjerde rod, så få tegnet grafen for funktionen

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Oftest bruges omskrivningen af kvadratroden:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Regneregler for rødder

Fordi en rod nemt kan omskrives til en potens, arver udtryk med rødder reglerne for generelle potenser. Der gælder altså følgende sammenhænge:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Samtidig gælder disse grundlæggende sammenhænge:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Forenkling af rødder

Forenkling af rødder er en teknik, der bruges til at gøre rødder enklere, og den udnytter en af de foregående regler:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Nogle udtryk under rodtegnet kan vi nemlig opløse i faktorer, derefter skrive som to rødder og til sidst tage roden af en af de rødder. Et typisk eksempel kan være dette:

$$\sqrt{4x}$$

Dette udtryk kan vi ifølge den foregående regel omskrive sådan her:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Og nu kan vi tage kvadratroden af fireren:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

På samme måde kan vi omskrive også et almindeligt tal, hvis vi vil bevare den eksakte form. Så et eksempel:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Beregner

Hvis du skal beregne en rod, kan du bruge vores beregner til rødder 🧮.