Regning med procent

Procent angiver som regel en relativ del af en helhed, hvor selve helheden udtrykkes som 100 %. Procent kan altid omskrives til en brøk.

Procent som del af en helhed

Vi bruger procent, når vi vil udtrykke en del af en helhed. Procent kan erstatte udtryk som »en fjerdedel af klassen fik 02« eller »hver anden person er en mand«. Vi har altid en helhed, for eksempel en hel klasse af elever, og så siger vi, at en fjerdedel af dem fik 02. Hvis der er 32 elever i klassen, og en fjerdedel af dem fik 02, er det samlede antal elever, der fik 02, lig med:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{hvilket er det samme som}\frac{32}{4}=8$$

I det andet tilfælde kan vi have en by, lad os sige Horsens. Den har omkring 60.000 indbyggere. Hvis hver anden indbygger er en mand, betyder det, at halvdelen af dem er mænd, og det skriver vi som:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{hvilket er det samme som}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Desuden kunne vi sige, at »hver hundrede person i Horsens er matematiker«. Så ville der i Horsens være $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ matematikere. »Hver hundrede« er det samme som »en hundrededel af indbyggerne«.

Nu kan vi indføre begrebet procent. Én procent, som vi skriver 1 %, betyder en hundrededel af helheden. Det vil sige, at når vi siger, at »hver hundrede person i Horsens er matematiker« og »én procent af folk i Horsens er matematikere«, siger vi det samme. Én procent af en helhed beregner vi ved at gange helheden med $\frac{1}{100}$ eller dividere den med 100, det er det samme.

Procent kan vi nemt omskrive til brøker og arbejde videre med dem. Hvis vi sagde, at »i Horsens har x % af folk mørkt hår«, er det det samme, som hvis vi sagde »i Horsens har $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ mennesker mørkt hår«. 100 % er så helheden, dvs. alle indbyggerne. Sætningen »100 % af eleverne bestod« betyder, at alle eleverne bestod. Sætningen »0 % af eleverne dumpede« siger, at ingen dumpede. Eksempler:

1. 35 % af indbyggerne i Horsens tager bussen. Hvor mange mennesker tager bussen? 35 % er det samme som $\frac{35}{100}$ af helheden (= »femogtredive hundrededele af helheden«). Vi regner således: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Det kan nemt regnes ud ved først at dividere 60.000 med hundrede og gange dette resultat med 35. Grundlæggende foretager vi denne omskrivning:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Vi kan forestille os det sådan, at vi først regner ud, hvor mange indbyggere der svarer til én procent: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. Til én procent svarer 600 indbyggere. Vi vil kende 35 % af indbyggerne, så vi ganger blot disse 600 indbyggere med 35: 35 · 600 = 21.000.

2. Noah tjener i gennemsnit 500 kr. om dagen. I dag har han kun tjent 75 % af sin gennemsnitlige løn. Hvor meget tjente Noah? Fremgangsmåden er stadig den samme. Helheden er 500, og 75 % omskriver vi til brøken $\frac{75}{100}$. Denne brøk kan vi desuden forkorte til brøken $\frac{3}{4}$. Vi ganger helheden med denne brøk:

   $$\frac{3}{4}\cdot 500=\frac{3\cdot 500}{4}=3\cdot 125=375$$

3. Næste dag forkælede Noah sig selv og tjente 150 % af sin gennemsnitlige løn. Hvor meget tjente han? Kan vi overhovedet have mere end 100 %, når vi sagde, at 100 % er helheden? Ja, det kan vi. Ligesom man kan tjene »tre gange så mange penge som i gennemsnit«, kan man tjene 150 % af sit gennemsnit.

   Vi går frem helt på samme måde. 150 % omskriver vi til brøken $\frac{150}{100}$, og med denne brøk ganger vi Noahs gennemsnitlige løn, dvs. 500:

   $$\frac{150}{100}\cdot 500=\frac{150\cdot 500}{100}=\frac{150\cdot 5}{1}=150\cdot 5=750$$

Procent med enhedsmetoden

En del af en helhed udtrykt i procent kan vi nemt regne ud med enhedsmetoden. Lad os blive ved Noah, som i gennemsnit tjener 500 kr. om dagen og i dag har tjent 75 % af sin gennemsnitlige løn. Det kan vi nemlig skrive op med enhedsmetoden sådan:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 500\text{ kr.}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ kr.}\end{array}$$

Fordi der er tale om ligefrem proportionalitet, får vi formen:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{500}$$

Vi ganger ligningen med 500 og har:

$$\frac{75\cdot 500}{100}=x$$

Og herfra kan vi let regne os frem til resultatet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 500}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 5}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 5\\ x& =& 375\end{array}$$

Vi kan se, at vi fik det samme tal.

Og hvad hvis vi kender delen og ikke helheden?

I de foregående eksempler regnede vi altid med, at vi kender helhedens præcise værdi og skal beregne en bestemt del angivet i procent. Men hvad hvis vi netop kender delen og ikke helheden? Eksempel: Noah har 120 samlekort med et stort grønt uhyre. Men selv om det er et anseligt antal kort med grønne uhyrer, har han stadig kun tres procent af kortene i forhold til Ida. Hvor mange kort har Ida?

Her kender vi delen, men ikke helheden — den skal vi først regne ud. Nu ved vi, at 120 kort svarer til 60 % af de kort, som Ida har. For at finde ud af, hvor mange kort der svarer til én procent, er det nok at dividere de hundrede og tyve med tres. Vi får to, 120/60 = 2. Én procent af kortene er i virkeligheden to kort med grønne uhyrer. Fordi vi regner helheden ud — og den er altid 100 % — ganger vi dette antal kort med hundrede. Og vi har 200 kort, hvilket er det rigtige resultat.

Vi kan kontrollere det ved at beregne 60 % af 200: Vi ganger simpelthen

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vi kan se, at 60 % af 200 svarer til 120, og det er præcis det antal kort med det grønne uhyre, som Noah har.

Addition af procenter

Skal vi regne et eksempel, hvor der indgår procent, er det altid bedst, at vi i stedet for procent regner de præcise værdier ud og lægger dem sammen bagefter. Så opgaveteksten kunne lyde nogenlunde sådan her: Oscar tjener 15.000, Lucas 20.000 og Clara 25.000 kr. Beregn nu, hvor mange kr. Freja tjener, når hun tjener 30 % af, hvad Oscar tjener, plus 40 % af, hvad Lucas tjener, plus 25 % af, hvad Clara tjener.

Her har vi tre udtryk med procent, men hvert udtryk stammer fra en anden helhed. Oscar, Lucas og Clara tjener hver en forskellig sum penge. Så først regner vi 30 % af Oscars løn ud. Det er 15.000/100 = 150. Derefter ganger vi 150 · 30 og får 4500. Så er det 40 % af Lucas' løn. Det er 20.000/100 = 200. Igen ganger vi med 40 og har 200 · 40 = 8000. Den sidste del er 25 % af Claras løn. Hun tjener 25.000, og af det er én procent 25.000/100 = 250. Ved at gange med 25 får vi 250 · 25 = 6250. Nu skal vi bare lægge alle delresultaterne sammen: 4500 + 8000 + 6250 = 18.750. Freja tjener 18.750 kr., og det er en ganske pæn indtjening.

Det kan dog ske, at vi virkelig skal lægge procenter sammen. Procenter kan vi kun lægge sammen, hvis de har samme grundlag, samme helhed. Så hvis for eksempel William tjente 20 % af, hvad Lucas tjener, plus 30 % af, hvad Lucas tjener, kan vi lægge procenterne sammen, fordi der er tale om samme grundlag — begge udtryk regner med Lucas' grundløn. Resultatet bliver altså 20 % + 30 % = 50 %. William tjener halvdelen af, hvad Lucas tjener, ti tusind.

Den lumske kaskadeagtige addition af procenter

Forestil dig nu følgende situation: Emil tjente det første år 10.000. Andet år fik han lønforhøjelse, og hans løn blev sat 30 % op. Næste, tredje år fik han igen lønforhøjelse, og lønnen blev sat op igen, selv om det denne gang kun var 10 %. Spørgsmålet lyder: Hvad er Emils løn nu?

Denne type eksempler frister voldsomt til at lægge procenterne sammen ligesom i det foregående tilfælde. Vi regner jo stadig — tilsyneladende — med samme grundlag, Emils løn. Så vi regner 30 % + 10 % ud og lægger det til hans grundløn. Emil ville således tjene 14.000 kr. Men sådan er det ikke. Vi gennemgår det.

Det første år fik han 10.000. Andet år fik han 10.000 + 30 %. Det er 13.000, som du sikkert allerede selv har regnet ud. Og nu satte de det næste år hans løn op med ti procent. Men pas på! Grundlaget er ikke længere de ti tusind, som han havde det første år. Grundlaget er nu tretten tusind! Og som vi ved, kan vi kun lægge procenter sammen, hvis procenterne regnes af samme grundlag. Og i vores tilfælde er grundlaget forskelligt. Første gang var det 10.000, og nu er det 13.000. Så sidste år fik Emil 13.000 + 10 %, hvilket er 14.300.

Løsningen med 14.000 var således både forkert, og desuden snød vi stakkels Emil for 300 kr. Vær ikke ond ved Emil!

Køb en lærebog i matematik på tilbud!

Et klassisk eksempel er også det med rabat. Forestil dig, at de i butikken har en lærebog i matematik, som du meget gerne vil have i julegave. Hvad andet skulle du også ønske dig, ikke? :-)

Før jul sætter butikken prisen på bogen op med 20 %. Du siger til dig selv, at du hellere må vente og købe den efter jul. Det var klogt, for efter helligdagene satte butikken prisen på bogen ned med 20 %. Spørgsmålet lyder — koster bogen det samme som før prisstigningen? Eller koster den mere/mindre?

Nogle menneskers sunde fornuft siger igen, at bogen vil koste det samme, men det passer ikke. Lad os regne på det. Lad os sige, at bogen kostede 300 kr. En prisstigning på 20 % betyder, at bogen blev dyrere med $\frac{20}{100}\cdot 300=60$ kr. Bogen kostede således 360 kr.

Men en rabat på 20 % regnes ikke længere af grundlaget 300, men af grundlaget 360! Det betyder, at bogen bliver billigere med $\frac{20}{100}\cdot 360=72$ kr. Bogen koster efter rabatten 288 kr.

(Men hvem ville egentlig købe en lærebog i matematik, når der er Matematik på jævnt dansk til dig ;-))

Promille

Promille bruges oftest ved måling af alkohol i blodet hos en bilist. Nogle mennesker tror fejlagtigt, at en promille er en tusindedel af en procent, men det er en fejl, pas på det. Promille er en tusindedel af helheden. Ellers regner man med promille helt på samme måde som med procent. Hvis du vil finde x promille af 5000, beregner du det som $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. I stedet for 100 står der 1000 i brøkens nævner. Tre promille af 5000 er således $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promille skrives med symbolet ‰. Der gælder, at $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Mere i den separate artikel om promille.

Typografi for procent

På dansk skrives der mellemrum mellem tallet og procenttegnet: »100 %«, ikke »100%«. Står procenttallet forrest i et sammensat ord, sættes der bindestreg: »en 100 %-garanti«. Tænk på det, når du skriver, og bliv ikke for ophidset, hvis aviserne har det forkert :-).

Procentpoint

Ud over almindelig procent kan vi også have procentpoint. Hvad er forskellen? Forestil dig, at browseren Firefox for to år siden blev brugt af 20 % af folk, men i år bruges den allerede af 30 % af folk. Hvor stor er stigningen mellem de to år? Det ville være en fejl at sige, at stigningen er ti procent. Hvis Firefox først blev brugt af 20 % af folk og derefter af 30 %, betyder det, at den nu bruges af halvanden gang så mange som før. Det vil sige en stigning på halvtreds procent.

Men det er igen lidt dumt at sige, at stigningen er 50 %, når det ville være mere forståeligt for alle, hvis vi sagde, at antallet af procent steg med ti. Og netop til det har vi procentpoint. I dette tilfælde kan vi sige, at stigningen i brugen af browseren Firefox er ti procentpoint. Procentpoint kan vi bruge, når vi vil udtrykke en enkel forskel mellem to procentangivelser.