Egenskaber ved funktioner

En funktion er en forskrift, der til hvert tal x fra definitionsmængden M knytter præcis ét y fra værdimængden N. Vi skriver normalt funktionen på formen y = f(x), eller vi kan udtrykke den eksplicit f:y = x, hvor variablen x er funktionens argument.

Definitionsmængde og værdimængde

For hver funktion skal vi også bestemme dens definitionsmængde, som er mængden af alle tilladte værdier af argumentet x, altså alle de værdier, som variablen x kan antage. Definitionsmængden for funktionen f betegner vi Dm(f).

Et simpelt eksempel: f:y = x her er definitionsmængden lig med hele mængden af reelle tal Dm(f) = ℝ. Et andet eksempel: $f:y=\frac{1}{x}$ i dette tilfælde er definitionsmængden mængden af reelle tal, men denne gang undtagen nul, fordi du ikke kan dividere med nul, udtrykket ville da ikke give mening Dm(f) = ℝ ∖ {0}.

Værdimængden er så analogt mængden af alle tilladte y, altså mængden af alle elementer, som funktionen f kan pege på. Igen et simpelt eksempel: Tag funktionen f:y = x. Her er værdimængden mængden ℝ, fordi y kan antage en vilkårlig værdi fra denne mængde. Lad os dog tage en anden funktion f:y = |x| (numerisk værdi). Her vil værdimængden være lig med intervallet [0; ∞[, fordi det aldrig kan ske, at y er lig med for eksempel minus fem, da det ikke er muligt ifølge definitionen af numerisk værdi.

Hvis vi holder os til begrebet afbildning fra mængden A ind i mængden B, så skal du vide, at mængden A er definitionsmængden, og mængden B er den mængde, som funktionen afbilder ind i (dispositionsmængden); værdimængden er en delmængde af den.

Funktionens monotoni

Monotonien af en funktion er en egenskab, der afgør, om funktionen på et givet interval er strengt voksende, strengt aftagende, ikke-voksende, ikke-aftagende, konstant eller ingen af delene.

Det kan bedst aflæses fra grafen: Hvis du har på fornemmelsen, at grafen falder, er det en strengt aftagende funktion, og hvis funktionen vokser, er det en strengt voksende funktion. Hvor enkelt :-). Definitionerne ville se sådan ud: Vi har en funktion f, og lad x₁, x₂ ∈ Dm(f). Så siger vi, at

• funktionen f er strengt voksende, hvis x₁ < x₂, så f(x₁) < f(x₂).
• funktionen f er strengt aftagende, hvis x₁ < x₂, så f(x₁) > f(x₂). (Definitionen ser ens ud, men i det første tilfælde står der < ved funktionsværdierne og i det andet >)

Se på grafen for en strengt voksende funktion f(x) = ln(x):

Vi ser, at når vi vælger x₁, x₂ sådan, at x₁ < x₂, så gælder det også, at f(x₁) < f(x₂). Se nu på en anden graf, denne gang for funktionen $f(x)=\frac{1}{x}$, som er strengt aftagende for eksempel på intervallet ]0; ∞[:

Her ser vi, at når x₁ < x₂, så gælder der for deres funktionsværdier omvendt f(x₁) > f(x₂). Selvom x₁ er mindre end x₂, »giver« det en større funktionsværdi.

Lad os nævne de resterende definitioner:

• Funktionen f er ikke-aftagende, hvis x₁ < x₂, så f(x₁) ≤ f(x₂). (Definitionen ligner den for en strengt voksende funktion, vi tillader bare, at funktionen på et bestemt stykke har en konstant værdi)
• Funktionen f er ikke-voksende, hvis x₁ < x₂, så f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funktionen f er konstant, hvis værdimængden er en mængde med ét element, med andre ord hvis det for to vilkårlige x₁, x₂ gælder, at f(x₁) = f(x₂).

Et eksempel på en ikke-voksende funktion er funktionen f(x) = |x|−x:

Læg mærke til, at funktionen aftager på intervallet ]−∞; 0[, men på den resterende del har funktionen en konstant funktionsværdi (nul). På hele definitionsmængden er der således tale om en ikke-voksende funktion.

Lige og ulige funktioner

Nogle funktioner kan under visse betingelser være lige eller ulige. Det er nemmest at kende grafen for funktionen, der kan man se det hurtigst. En lige funktion er nemlig symmetrisk om y-aksen, mens en ulige funktion er symmetrisk om origo (0, 0). Et eksempel på en lige funktion kan være y = x², og en ulige funktion er for eksempel funktionen y = 2x. Definitionerne ville se sådan ud — funktionen f er

• lige, hvis det for alle x ∈ Dm(f) gælder, at f(x) = f(−x),
• ulige, hvis det for alle x ∈ Dm(f) gælder, at −f(x) = f(−x).

Lige og ulige funktioner er behandlet i en selvstændig artikel Lige og ulige funktioner.

Injektiv funktion

En injektiv funktion kan vi genkende på, at alle dens funktionsværdier er unikke, ingen funktionsværdi gentages. Definition:

Funktionen f er injektiv, hvis det for alle x₁, x₂ ∈ Dm(f) gælder, at

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Hvis vi vælger to forskellige x fra funktionens definitionsmængde, skal deres funktionsværdier altid være forskellige.

Grafisk kan det som altid genkendes helt enkelt. Hvis du lægger en linje parallel med x-aksen hen over grafen, skal den højst skære grafen i ét punkt. Et eksempel på en injektiv funktion er for eksempel den lineære funktion y = 3x. Uanset hvilken linje du tager, skærer den altid grafen i præcis ét punkt. Det modsatte er for eksempel funktionen sinus, hvis graf danner nogle slags bølger, så hvis du lægger en linje parallel med x-aksen, der skærer y-aksen i punktet $\frac{1}{2}$, finder du uendeligt mange skæringspunkter med grafen, og derfor er den ikke injektiv.

Begrænset funktion

Funktioner kan være opad begrænsede, nedad begrænsede eller både opad og nedad begrænsede — en sådan funktion kalder vi simpelthen en begrænset funktion. Funktionen f er opad begrænset, hvis vi kan finde et reelt tal A, som er større end alle funktionsværdier for funktionen f. Analogt for en nedad begrænset funktion. Så definitionerne:

• Funktionen f er opad begrænset, hvis der findes A ∈ ℝ sådan, at det for alle x ∈ Dm(f) gælder, at A > f(x).
• Funktionen f er nedad begrænset, hvis der findes A ∈ ℝ sådan, at det for alle x ∈ Dm(f) gælder, at A < f(x).

Grafisk kan vi forestille os det sådan, at vi leder efter en linje parallel med x-aksen (dvs. en vandret linje), som ligger over eller under hele funktionens graf.

På figuren har vi grafen for funktionen f(x) = x⁴, som er nedad begrænset. Læg mærke til, at vi slet ikke behøver at finde det A, der er »tættest« på grafen, det er nok at placere linjen et vilkårligt sted under grafen.

Minimum og maksimum

Funktionen f har i punktet M i definitionsmængden et maksimum, hvis funktionsværdien i dette punkt M er den højeste af alle de funktionsværdier, funktionen har. Analogt for minimum. Definitioner:

• Funktionen f har i punktet M ∈ Dm(f) globalt maksimum, hvis det gælder, at f(x) ≤ f(M) for alle x ∈ Dm(f) — kort sagt, at funktionsværdien er højest i punktet M. Hvis der findes ét eneste maksimum, kalder vi det et strengt maksimum.
• Funktionen f har i punktet m ∈ Dm(f) globalt minimum, hvis det gælder, at f(x) ≥ f(m) for alle x ∈ Dm(f) — funktionsværdien er mindst i punktet m.

På grafen finder du nok maksimum og minimum for funktionen ret nemt, du kigger simpelthen, hvor funktionen er lavest eller højest. En funktion behøver dog selvfølgelig hverken at have minimum eller maksimum, eller den kan kun have minimum eller kun maksimum, ligesom en funktion kan have kun lokale ekstrema, men ikke have noget ekstremum på hele definitionsmængden.

Hvis du har brug for at finde minima og maksima, så brug differentialregning, den præcise fremgangsmåde er beskrevet i artiklen funktionsundersøgelse.

Eksempel

Bestem egenskaberne for funktionen ud fra følgende graf:

• Definitionsmængden for denne funktion er intervallet [−4; 4].
• Værdimængden er intervallet [−2; 4].
• Funktionen ser ganske vist ud til at kunne være strengt voksende, men i stykket [0; 2] har funktionen en konstant værdi, så den kan ikke være strengt voksende. Funktionen aftager dog ikke i noget interval, derfor er den ikke-aftagende.
• Funktionens graf er hverken symmetrisk om y-aksen eller om origo, så funktionen er hverken lige eller ulige.
• Er funktionen injektiv? Det er allerede blevet sagt, at funktionen i stykket [0; 2] har en konstant værdi, så funktionen kan ikke være injektiv. For forskellige x har den samme y.
• Funktionen er begrænset, både opad og nedad. Vi kan finde en vandret linje, der ligger over hele grafen, og en, der ligger under hele grafen.
• Den givne funktion har også minimum og maksimum. Minimum har den i punktet m = −4 og maksimum i punktet M = 4.