Intervall

Intervalle werden in der Mathematik häufig verwendet und kommen in unzähligen Definitionen vor. Ein Intervall ist eine Menge von Punkten, die von zwei Randpunkten begrenzt wird. Wir unterscheiden außerdem offene und abgeschlossene Intervalle.

Grundlegende Beschreibung

Intervalle verwenden wir auch in der Alltagssprache, zum Beispiel: „Für die falsche Augenfarbe kannst du von der Europäischen Union eine Geldstrafe zwischen zehn- und zwanzigtausend Euro bekommen.“ In diesem Beispiel kommt das Wort „zwischen“ vor, aber mathematisch gesehen handelt es sich um ein Intervall. Jetzt tauchen jedoch heikle Fragen auf: Kannst du genau zehntausend Euro Strafe bekommen, oder zählt der Randwert nicht mit? Wie fein kann die Strafe festgelegt werden? Kann sie 18.541,97 € betragen? Oder kann man zum Beispiel nur in Hunderterschritten abstufen? Also entweder 18.500 oder 18.600?

Das alles regelt die mathematische Schreibweise. Dabei müssen wir zwei wesentliche Dinge angeben: in welcher Menge wir uns bewegen (im Kontext des Beispiels – Hunderter? Tausender? Einzelne Euro?) und ob auch die Randpunkte zum Intervall gehören (kann ich genau zehn- oder zwanzigtausend Euro Strafe bekommen?).

Die gute Nachricht ist, dass man in der Mathematik in der überwiegenden Mehrheit der Fälle Intervalle in der Menge der reellen Zahlen betrachtet. Wenn du also auf ein Intervall ohne Angabe der Menge stößt, handelt es sich sicher um reelle Zahlen.

Die Grundmenge haben wir damit schon, aber wie kennzeichnen wir, ob wir die Randpunkte berücksichtigen wollen? Intervalle werden mithilfe von Klammern geschrieben. Eine nach außen zeigende Klammer bedeutet, dass der jeweilige Randpunkt nicht zum Intervall gehört, eine nach innen zeigende Klammer bedeutet, dass er dazugehört. Das nennen wir Offenheit und Abgeschlossenheit. Gehört ein Randpunkt zum Intervall, ist das Intervall abgeschlossen, gehört er nicht dazu, ist es offen.

Beispiele

Es folgen Beispiele (alle in der Menge der reellen Zahlen, sofern nichts anderes gesagt wird):

• [1; 2]   Abgeschlossenes Intervall von eins bis zwei. Zum Intervall gehören alle reellen Zahlen zwischen eins und zwei einschließlich der Eins und der Zwei.
• ]1; 2[   Offenes Intervall von eins bis zwei. Zum Intervall gehören alle reellen Zahlen zwischen eins und zwei, aber die Zahlen eins und zwei selbst gehören nicht dazu.
• [0; 1[   Das Intervall ist links abgeschlossen und rechts offen. Zum Intervall gehören alle Zahlen zwischen null und eins, einschließlich der Null selbst, aber die Eins gehört nicht zum Intervall.
• ]p; q]   Das Intervall ist links offen und rechts abgeschlossen. Zum Intervall gehören alle Zahlen zwischen den Zahlen p und q, einschließlich der Zahl q, aber ohne die Zahl p.
• [0; ∞[   Links abgeschlossenes und rechts offenes Intervall. Ist eine Grenze des Intervalls unendlich, verwende auf dieser Seite ein offenes Intervall: Unendlich ist kein endlicher Randpunkt, ein abgeschlossenes Intervall ergibt dort keinen Sinn.
• [1; 5] ⊂ ℕ   Hier folgt eine Änderung: Wir arbeiten nicht mit der Menge der reellen Zahlen, sondern mit der Menge der natürlichen Zahlen. Das Intervall ist auf beiden Seiten abgeschlossen, und im Intervall liegen somit insgesamt fünf Zahlen: 1, 2, 3, 4 und 5.
• ]1; 5] ⊂ ℕ   Derselbe Fall wie eben, nur ist das Intervall links offen, die Eins gehört also nicht zum Intervall, und alle Elemente des Intervalls sind: 2, 3, 4 und 5.

Das Intervall als Menge

Wie du siehst, ist ein Intervall nichts anderes als eine Teilmenge der Menge, über der es definiert ist. Deshalb können wir mit Intervallen wie mit Mengen arbeiten und Mengenoperationen mit ihnen durchführen. Die Vereinigung könnte zum Beispiel so aussehen:

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Achtung bei offenen Intervallen: Dort würde diese Gleichheit nicht gelten, weil die Fünf nicht zum entstehenden Intervall gehört:

$$]0;5[\cup ]5;10[\ne ]0;10[$$

Richtig könnte es zum Beispiel so aussehen:

$$]0;5[\cup ]5;10[=]0;10[\setminus \{5\}$$

Wann man ein offenes Intervall verwendet

Den Unterschied zwischen einem offenen und einem abgeschlossenen Intervall musst du unbedingt verstehen. Ein häufiger Anwendungsfall des offenen Intervalls ist zum Beispiel der Definitionsbereich des Logarithmus. Den Logarithmus können wir für jede positive reelle Zahl verwenden, das heißt, wir können ihn weder mit einer negativen Zahl noch mit null aufrufen. Wie schreiben wir das auf?

$$D_{\ln }=]0;\mathrm{\infty }[$$

Diese Schreibweise sagt, dass wir den Logarithmus mit einer beliebig kleinen positiven Zahl aufrufen können, aber nicht mit null. Die Zahl 1 liegt also im Intervall, die Zahl 0,001 auch, ebenso die Zahl 0,0000000001 oder 10⁻⁶⁶⁶. Aber null liegt nicht mehr im Intervall. Ähnlich könnten wir den Definitionsbereich einer Funktion mit einem Bruch aufschreiben, etwa der einfachen Funktion f(x) = 1/x.

$$D_f=]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;\mathrm{\infty }[$$

Das legt die Menge der reellen Zahlen ohne null fest. In keinem der beiden Intervalle steht null an der Stelle eines abgeschlossenen Randes, deshalb ist null auch in der entstehenden Vereinigung nicht enthalten. Wir können allerdings eine beliebig kleine positive Zahl oder eine beliebig große negative Zahl verwenden (bei negativen Zahlen gilt, dass -0,001 größer ist als -0,1, deshalb sagen wir „beliebig große Zahl“ und nicht „beliebig kleine Zahl“).

Geometrische Deutung

Intervalle stellen wir üblicherweise auf der Zahlengeraden als Strecken dar, die Randpunkte wählen wir danach, ob das Intervall abgeschlossen oder offen ist. Ist das Intervall abgeschlossen, wird der Kreis, der den Punkt darstellt, ausgefüllt, ist es offen, bleibt er leer, er ist dann nur ein Umriss, nur eine Kreislinie.

Die folgende Abbildung zeigt drei Intervalle, jeweils von zwei bis sechs, die sich aber darin unterscheiden, ob die Ränder abgeschlossen sind. Der Reihe nach sind also diese Intervalle dargestellt: [2; 6], ]2; 6], ]2; 6[.