Kommutativgesetz

Die Kommutativität ist eine Eigenschaft von Operationen wie zum Beispiel der Addition. Wir sehen, dass es bei der Addition nicht auf die Reihenfolge ankommt, also ist 3 + 5 dasselbe wie 5 + 3. Egal, welche zwei reellen Zahlen a + b wir addieren, das Ergebnis ist dasselbe, auch wenn wir die Summanden vertauschen: b + a. Wenn eine Operation diese Bedingung erfüllt, sagen wir von ihr, dass sie kommutativ ist.

Ein Beispiel für eine weitere kommutative Operation ist die Multiplikation, denn 2 · 6 hat dasselbe Ergebnis wie 6 · 2, und dasselbe gilt für beliebige zwei Zahlen a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Ein Beispiel für eine Operation, die nicht kommutativ ist, ist die Subtraktion, denn 7 − 4 ist etwas anderes als 4 − 7. Im ersten Fall erhalten wir das Ergebnis 3, im zweiten Fall erhalten wir −3. Ein weiteres Beispiel ist die Division, denn 2 / 5 ist etwas anderes als 5 / 2.

Achte aber auf weitere Eigenschaften von Operationen, zum Beispiel auf den Vorrang der Multiplikation („Punkt vor Strich“). Haben wir den Term 1 + 2 · 3, dürfen wir nicht sagen, dass er dasselbe ist wie 2 + 1 · 3. Die Multiplikation hat nämlich Vorrang vor der Addition. Wir können uns mit Klammern helfen: Der Term 1 + 2 · 3 ist dasselbe wie 1 + (2 · 3). Wenn wir das Kommutativgesetz der Addition anwenden wollen, dürfen wir das, müssen aber die ganze Klammer mitnehmen: 1 + (2 · 3) ist gleich (2 · 3) + 1 und das ist gleich (3 · 2) + 1, wenn wir noch die Kommutativität der Multiplikation anwenden.

Mengenoperationen und Kommutativität

Kommutativ müssen nicht nur Operationen mit Zahlen sein, sondern zum Beispiel auch Operationen mit Mengen. So ist zum Beispiel die Schnittmenge der Mengen A und B eine kommutative Operation. Die Schnittmenge zweier Mengen besteht aus den „Elementen, die in beiden Mengen enthalten sind“, also

$$A\cap B=B\cap A$$

Ganz genauso funktioniert es bei der Vereinigungsmenge der Mengen A und B, deren Ergebnis aus den „Elementen, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind“ besteht, und somit:

$$A\cup B=B\cup A$$

Nicht kommutativ ist zum Beispiel die Differenzmenge.

Vektoren

Eine weitere kommutative Operation finden wir unter den Operationen mit Vektoren, und zwar die Addition von Vektoren – allgemein ist die Addition meistens eine kommutative Operation. Wenn wir in diesem Fall zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ haben, gilt, dass

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Grafisch zeigt das die folgende Abbildung:

Die Summe $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ stellt der „obere Weg“ dar, bei dem wir zuerst den roten Vektor $\overrightarrow{u}$ anwenden und erst danach den blauen Vektor $\overrightarrow{v}$. Die Summe $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ stellt der „untere Weg“ dar, zuerst gehen wir den Weg des blauen Vektors $\overrightarrow{v}$ und dann des roten Vektors $\overrightarrow{u}$. Das Ergebnis ist aber dasselbe, die Vektoren enden im selben Punkt.

Du kannst es dir so vorstellen, als wärst du von irgendeinem Ort losgegangen und fünfzig Meter nach Norden und dann zwanzig Meter nach Westen gegangen. Wenn du zuerst zwanzig Meter nach Westen und dann fünfzig Meter nach Norden gingest, kämst du am selben Ort an. Ein solches Gehen ist also kommutativ.

Logik

Zu den kommutativen Operationen gehören auch die logischen Operatoren „und“ (Konjunktion) und „oder“ (Disjunktion). Das bedeutet, dass die Aussage „Die Zahl 5 ist ungerade und zugleich eine Primzahl“ denselben Wahrheitswert hat wie die Aussage „Die Zahl 5 ist eine Primzahl und zugleich ungerade“. Ähnlich bei der Disjunktion: „Die Zahl 6 ist eine Primzahl oder gerade“ hat denselben Wahrheitswert wie die Aussage „Die Zahl 6 ist gerade oder eine Primzahl“.

Nicht kommutativ ist dagegen die Implikation, also die Aussage „Wenn ich im Lotto gewinne, dann werde ich reich“ ist nicht dasselbe wie „Wenn ich reich werde, dann gewinne ich im Lotto“.