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Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind Zahlen ohne Nachkommastellen. Sie enthalten die natürlichen Zahlen, ihre Gegenzahlen (die negativen Zahlen) und die Null.

Eigenschaften

Fliegende Zahlen

Die ganzen Zahlen bilden eine Menge, die die Zahlen …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … enthält. Die Menge bezeichnen wir üblicherweise mit dem Buchstaben Z mit doppeltem mittleren Strich: ℤ, vom deutschen Wort „Zahlen“. Die ganzen Zahlen bilden eine unendliche und abzählbare Menge.

Die ganzen Zahlen haben zum Beispiel diese Eigenschaften:

  1. Sie sind abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation, genau wie die natürlichen Zahlen. Das heißt: Wenn wir zwei ganze Zahlen addieren, erhalten wir wieder eine ganze Zahl.
  2. Anders als die natürlichen Zahlen sind die ganzen Zahlen auch unter der Subtraktion abgeschlossen. Bei den natürlichen Zahlen war das nicht der Fall, weil die Differenz zweier natürlicher Zahlen eine negative Zahl sein konnte. Das stört uns bei den ganzen Zahlen nicht, denn sie enthalten die negativen Zahlen.
  3. Genau wie die natürlichen Zahlen sind sie nicht abgeschlossen unter der Division. Es gilt weiterhin, dass wir nach einer Division eine nicht ganze Zahl erhalten können.
  4. Zu jeder ganzen Zahl c gibt es die Gegenzahl (die additiv inverse Zahl) −c. Wenn wir die Zahl 10 haben, ist die Gegenzahl −10. Für 55 ist es −55. Genauso bei den negativen Zahlen: Für −13 ist das inverse Element 13. Wenn wir eine ganze Zahl c und ihre Gegenzahl −c haben, erhalten wir als ihre Summe null: c + (−c) = 0. Deshalb ist das inverse Element zur Null wieder die Null.

Gerade und ungerade Zahlen

Die ganzen Zahlen können wir in gerade und ungerade Zahlen einteilen. Gerade Zahlen sind Zahlen, die durch zwei teilbar sind, also 2, −4, −8, 40, 124 usw. Ungerade Zahlen haben bei der Division durch zwei den Rest eins, das sind also die Zahlen −1, 1, 5, 19, −41 usw. Beachte, dass wir tatsächlich auch bei negativen Zahlen zwischen gerade und ungerade unterscheiden (die Zahl −5 ist also wirklich ungerade) und dass null eine gerade Zahl ist.

Eigenschaften bezüglich der Addition: Wenn du zwei gerade Zahlen addierst, erhältst du wieder eine gerade Zahl. Weitere Eigenschaften zeigt die folgende Tabelle:

gerade+gerade=geradegerade+ungerade=ungeradeungerade+ungerade=gerade

Eine ähnliche Tabelle für die Multiplikation:

gerade⋅gerade=geradegerade⋅ungerade=geradeungerade⋅ungerade=ungerade

Division mit Rest

Auch in der Menge der ganzen Zahlen können wir, ähnlich wie bei den natürlichen Zahlen, die Division mit Rest definieren, wir müssen nur mit den negativen Zahlen zurechtkommen. Die Grunddefinition sieht diesmal so aus:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

In dieser Gleichung teilen wir a:b, die Zahl q ist das Ergebnis (der ganzzahlige Quotient) und die Zahl r der Rest der Division. Die Zahl b muss ungleich null sein, wir können nicht durch null teilen. Der Rest muss nichtnegativ und kleiner als der Betrag von b sein, wodurch Quotient und Rest eindeutig bestimmt sind.

Wie würde eine solche Division aussehen? Versuchen wir −21:4. Die Zahlen sehen dann so aus:

−21=−6⋅4+3

Das Ergebnis (der Quotient) ist −6 und der Rest ist 3. Es kann dich überraschen, dass das Ergebnis anders ist als in dem Fall, in dem alle Zahlen positiv wären:

21=5⋅4+1

Hier wäre das Ergebnis (der Quotient) 5 und der Rest 1. Der Unterschied liegt genau in den negativen Zahlen. Bei positiven Zahlen suchen wir nämlich im ersten Schritt die größte ganze Zahl, die nicht größer als 21 ist und die ohne Rest durch vier teilbar ist. Das ist die Zahl 20. Deshalb rechnen wir 20:4 = 5 und erhalten unsere Fünf. Den Rest erhalten wir dann als Differenz 21 − 20.

Bei negativen Zahlen gehen wir genauso vor. Wir suchen die größte Zahl, die nicht größer als −21 ist und ohne Rest durch 4 teilbar ist. Die Zahl −20 ist aber größer als −21. Deshalb ist die größte Zahl, die nicht größer als −21 und ohne Rest durch 4 teilbar ist, die Zahl −24. Den Rest erhalten wir wieder als Differenz −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

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