Algebraische Zahlen

Eine Zahl, die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, nennen wir algebraische Zahl. Was bedeutet das in der Praxis? Wir können uns eine beliebige Zahl nehmen und mit ihr ein mathematisches Spiel spielen. Das Ziel des Spiels ist, eine Zahl x zu nehmen und auf null zu reduzieren. Dabei dürfen wir nur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Potenzen verwenden, und für die Umformungen dürfen wir nur ganze Zahlen benutzen. An Beispielen wird es klarer.

Wir starten mit der Zahl 42. Wie können wir sie umformen, damit wir null erhalten? Wir können die ganze Zahl 42 abziehen und erhalten null (mit null zu multiplizieren ist nicht erlaubt):

$$42-42=0$$

Weil wir die Zahl 42 auf null reduzieren konnten, ist die Zahl 42 algebraisch. Das war ziemlich trivial. Wie sieht es mit einem Bruch aus, zum Beispiel $\frac{7}{3}$? Da wir nur mit ganzen Zahlen arbeiten dürfen, können wir von diesem Bruch nicht $\frac{7}{3}$ abziehen, um null zu erhalten. Wir müssen uns anders helfen. Zuerst multiplizieren wir den Bruch mit drei:

$$3\cdot \frac{7}{3}=\frac{3\cdot 7}{3}=7$$

Wir haben eine ganze Zahl erhalten, und die können wir bereits auf null bringen: Wir ziehen sieben ab. Wir können also schreiben

$$3\cdot \frac{7}{3}-7=0$$

und sagen, dass der Bruch sieben Drittel ebenfalls eine algebraische Zahl ist. Nehmen wir noch eine kompliziertere Zahl, die Wurzel aus zwei: $\sqrt{2}$. Keine Multiplikation und keine Addition hilft uns weiter, wir müssen zuerst die Wurzel loswerden. Wir quadrieren den Term:

$${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$$

Wir haben eine ganze Zahl erhalten, die wir auf null bringen können, indem wir zwei abziehen:

$${\left(\sqrt{2}\right)}^2-2=0$$

Auch die Wurzel aus zwei, die eine irrationale Zahl ist, ist also eine algebraische Zahl. Bisher sieht es so aus, als wäre jede Zahl, die wir ausprobieren, algebraisch. Wie ist es zum Beispiel mit der eulerschen Zahl e? Auch sie ist irrational, hat also eine unendliche, nichtperiodische Dezimaldarstellung, ähnlich wie die Wurzel aus zwei. Ihr ungefährer Wert ist 2,71. Anders als bei der Wurzel aus zwei gibt es aber keine Möglichkeit, sie mit den erlaubten Operationen auf null zu reduzieren. Ganz gleich, ob wir zur eulerschen Zahl etwas addieren, sie mit etwas multiplizieren oder potenzieren, wir erhalten immer wieder eine irrationale Zahl. Die eulersche Zahl ist deshalb keine algebraische Zahl, hurra!

Ebenso ist die Kreiszahl Pi (3,14) keine algebraische Zahl.

Zahlen, die nicht algebraisch sind, nennen wir transzendent.

Genauere Definition

Für jede algebraische Zahl muss es also ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten geben, dessen Nullstelle genau diese algebraische Zahl ist. Eine Nullstelle eines Polynoms ist eine Zahl, für die das Polynom gleich null ist. Kehren wir zu den Beispielen von oben zurück: Für die Zahl 42 erhielten wir die Gleichung

$$x-42=0$$

und weil die Nullstelle des Polynoms x − 42 genau x = 42 ist, bedeutet das, dass 42 eine algebraische Zahl ist. Für die rationale Zahl $\frac{7}{3}$ wäre es die Gleichung

$$3x-7=0$$

denn die Nullstelle des Polynoms 3x − 7 ist genau $x=\frac{7}{3}$. Und schließlich erhielten wir für die Wurzel aus zwei

$$x^2-2=0$$

denn die Nullstelle des Polynoms x² − 2 ist genau die Wurzel aus zwei. Für die eulersche Zahl oder für Pi können wir keine solche Gleichung und kein solches Polynom aufstellen, denn es handelt sich um transzendente Zahlen und nicht um algebraische Zahlen.

Beispiele für algebraische Zahlen

• Jede ganze Zahl ist auch algebraisch.
• Jede rationale Zahl (Bruch) ist algebraisch.
• Bei den irrationalen Zahlen wird es komplizierter. Wie wir gesehen haben, sind manche irrationale Zahlen algebraisch, zum Beispiel die Wurzel aus zwei, andere dagegen nicht, wie die eulersche Zahl.
• Jede n-te Wurzel einer ganzen Zahl ist algebraisch.
• Der Goldene Schnitt ist eine algebraische Zahl.

Links und Quellen

• Transcendental Numbers - Numberphile
• Wikipedia: Algebraische Zahl