Unendlich

Unendlich ist ein abstrakter Begriff, den man sich im Grunde gar nicht vorstellen kann. Das Unendliche selbst hat kein Ende, daher auch der Name, aber das allgemeine Unendliche hat auch keinen Anfang (wir können es allerdings genauer festlegen, zum Beispiel ist ein Strahl ebenfalls unendlich, hat aber einen Anfang). Unendlich wird üblicherweise mit der sogenannten „liegenden Acht“ geschrieben – ∞.

Wir rechnen mit dem Unendlichen

Unendlich ist der Null teilweise ähnlich, denn auch sie ist in vielerlei Hinsicht besonders und es gelten für sie besondere Regeln. Zum Beispiel darfst du nicht durch null teilen, das weiß wahrscheinlich jedes kleine Kind (kennst du übrigens diesen Witz? Was ist die beste Ausrede, wenn du die Mathehausaufgabe nicht hast? „Frau Lehrerin, ich habe aus Versehen angefangen, durch null zu teilen, und mein Heft ist verbrannt …“ ;o)).

So wie alles mal null null ist, gilt auch, dass alles mal unendlich oder alles plus unendlich unendlich ist. Wenn du von unendlich eine noch so große Zahl abziehst, bleibt dir immer unendlich übrig. Genauso, wenn du versuchst, unendlich zu teilen. Unendlich ist eben so groß, dass dir auch dann, wenn du jede Sekunde Millionen davon abziehst, immer noch unendlich bleibt. Manchmal ist das ein wenig schwer zu begreifen, nehmen wir zum Beispiel diese kleine Gleichung: ∞ + 1 = ∞. Stimmt sie oder stimmt sie nicht?

Die Logik sagt uns, dass die linke Seite der Gleichung größer ist, denn wenn ich zu unendlich eins addiere, muss der ganze Term doch größer sein als bloß unendlich. Muss er nicht :-). Wie ich schon gesagt habe, unendlich plus alles ist unendlich. Also ist unendlich plus eins unendlich, und unendlich ist gleich unendlich. Die Gleichung stimmt.

Man kann auch einen anderen Weg finden, über Grenzwerte. Nehmen wir den Bruch 1/x und berechnen wir den rechtsseitigen Grenzwert für x→0⁺ und nehmen wir an, dass uns das Heft nicht verbrannt ist. Dieser Grenzwert wäre gleich unendlich. Wenn du zu diesem Term eins addierst, erhältst du den Term (1+x)/x und der Grenzwert für x→0⁺ wäre wieder unendlich.

Der Spaß beginnt, wenn wir mehrere Unendlich miteinander kombinieren. Was ist zum Beispiel unendlich minus unendlich? Die Logik sagt uns, dass wir zwei gleich große Zahlen voneinander abziehen, das Ergebnis wäre also null. Ich habe aber auch gesagt, dass das Ergebnis wieder unendlich ist, wenn wir von unendlich irgendeine Zahl abziehen. Wenn wir dagegen von irgendeiner Zahl unendlich abziehen, erhalten wir minus unendlich. Wie kommen wir da nun heraus? Theoretisch sind alle Ergebnisse möglich. Die Mathematik sagt, dass der Term ∞ −∞ nichts Bestimmtem gleich ist, er ist ein undefinierter bzw. unbestimmter Ausdruck. Das ist ein ähnlicher Fall, wie wenn du versuchst, durch null zu teilen, es ergibt einfach keinen Sinn. Wenn du auf einen solchen unbestimmten Ausdruck stößt, musst du den Term irgendwie umformen (bei manchen Arten unbestimmter Ausdrücke kann man zum Beispiel die Regel von L’Hospital verwenden [sprich „Lopital“]).

Weitere undefinierte bzw. unbestimmte Ausdrücke:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Übrigens gelten aber die Grundregeln für Vorzeichen, zum Beispiel ist −1 · ∞ gleich minus unendlich.

Möchtest du verrückt werden?

Dann wage dich an die Mengenlehre und berechne, welche Menge größer ist. Ist zum Beispiel die Menge der geraden oder die der ungeraden Zahlen größer? Die der geraden oder die der natürlichen? Die der natürlichen oder die der ganzen? Die der geraden oder die der ganzen? Die der natürlichen oder die der rationalen? Die Antwort lautet, dass alle gleich groß sind. Auch wenn es seltsam scheinen mag (es muss doch mehr ganze Zahlen geben als ungerade Zahlen), es sind gleich große Mengen. Die Menge der reellen Zahlen dagegen ist größer als die genannten Mengen. Da soll sich einer auskennen ;-)