Woher kommt die eulersche Zahl

Die eulersche Zahl ist eine der bekanntesten mathematischen Konstanten, neben zum Beispiel der Kreiszahl Pi – π. Wir erzählen, wie man auf diese Zahl gekommen ist und was sie bedeutet.

Im siebzehnten Jahrhundert interessierte sich der Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli für den Zinseszins. Stellen wir uns vor, wir haben einen Euro, den wir zur Bank bringen, und die Bank bietet uns 100 % Zinsen pro Jahr. Das ist zwar von der Bank der reine Wahnsinn, aber was würde sie nicht alles für die Mathematik tun. Wie viel Geld haben wir nach genau einem Jahr auf dem Konto? Nun, wir haben zwei Euro.

Wie würde sich die Situation ändern, wenn uns die Bank 50 % Zinsen anbieten würde, die jedes halbe Jahr gutgeschrieben werden? Wäre das für uns günstiger oder weniger günstig?

Nach dem ersten halben Jahr hätten wir um die Hälfte mehr. „Um die Hälfte mehr“ schreiben wir in der Mathematik als $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Für x setzen wir unsere Einlage ein, also einen Euro, und berechnen

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Nach einem halben Jahr haben wir auf dem Konto 1,5 Euro. Nach dem zweiten halben Jahr hätten wir wieder um die Hälfte mehr. Wir verwenden dieselbe Formel, setzen für x nur unseren neuen Kontostand ein, also 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Nach einem Jahr haben wir also 2,25 Euro auf dem Konto. Häufigere Verzinsung mit niedrigeren Zinsen ist für uns also vorteilhaft.

Verzinsung jeden Monat

Was wäre, wenn uns die Bank eine monatliche Verzinsung anbieten würde, die Zinsen aber auf ein Zwölftel der ursprünglichen Zinsen sinken würden? Uff, da müssen wir schon ein bisschen rechnen. Welchen Kontostand haben wir nach dem ersten Monat? Wir haben „um ein Zwölftel mehr“, was wir als $x\cdot (1+\frac{1}{12})$ schreiben. Nach dem ersten Monat haben wir also:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Nach dem zweiten Monat haben wir

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Beachte aber, dass wir anstelle der Zahl 1,0833333 auch $1\cdot (1+\frac{1}{12})$ schreiben können, denn wir wissen, dass diese Zahlen gleich sind:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Nach dem dritten Monat haben wir auf dem Konto:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Wie du siehst, folgt unsere Rechnung einem bestimmten Muster. Der Term in der Klammer wiederholt sich darin so oft, wie es die Nummer des gerade berechneten Monats angibt. Den vorherigen Term können wir vereinfachen, indem wir statt dreier gleicher Klammern eine einzige schreiben und sie hoch drei nehmen:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Und die Multiplikation mit eins am Anfang ist ebenfalls überflüssig, also lassen wir sie weg:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Wollen wir nun den Kontostand nach zwölf Monaten berechnen, verwenden wir im Exponenten statt der Drei einfach die Zahl 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Nach zwölf Monaten haben wir auf dem Konto ungefähr 2,6130352 Euro. Das ist nicht schlecht! Und es ist viel besser, als bei 100 % Zinsen pro Jahr.

Stetige Verzinsung

Wir müssen nicht bei den Monaten stehen bleiben. Wie viel hätten wir, wenn wir jede Woche mit Zinsen in Höhe von $\frac{1}{52}$ der ursprünglichen Zinsen verzinsen würden? Da wir die Formel schon kennen, setzen wir einfach ein:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Tägliche Verzinsung?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Stündliche Verzinsung? (Ein Jahr hat 8760 Stunden)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Wir sehen, dass wir am Ende immer ein bisschen mehr Geld auf dem Konto haben, wenn wir niedrigere Zinsen nehmen und damit häufiger verzinsen. Aber die Zuwächse sind nicht mehr so groß. So könnten wir bis ins Unendliche weitermachen. Nun, das ist eigentlich keine schlechte Idee – wir könnten jede Minute verzinsen, jede Sekunde, jede Millisekunde, jede Nanosekunde … bis wir an den Punkt kämen, an dem wir ununterbrochen verzinsen. Wir hätten dann einen stetigen winzigen Zins, mit dem wir den Kontostand in jedem Augenblick verzinsen würden. Wie viel Geld hätten wir in diesem Fall nach einem Jahr auf dem Konto?

Zurück zur eulerschen Zahl

Und das ist die Frage, die Jacob Bernoulli zu berechnen versuchte. Zu seinem Pech gelang es ihm jedoch nicht, und erst im 18. Jahrhundert schaffte es der berühmte Mathematiker Leonhard Euler. Er berechnete, dass wir nach einem Jahr auf dem Konto

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

Euro hätten. Du siehst, dass das nicht mehr viel mehr ist, als wenn wir die Zinsen jede Stunde gutgeschrieben hätten. Und weil sich herausgestellt hat, dass dieser Kontostand, diese Zahl, in verschiedenen Bereichen der Mathematik sehr wichtig ist, heißt sie bis heute die eulersche Zahl, und wir bezeichnen sie mit dem Buchstaben e. Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl, also eine Zahl mit unendlicher nichtperiodischer Dezimaldarstellung. Ähnlich wie zum Beispiel die Zahl π. Du wirst sie also nie vollständig zu sehen bekommen. Trotzdem können wir die eulersche Zahl mithilfe eines Grenzwerts einer Funktion genau definieren:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Quellen und Links

• Eine hervorragende Folge des englischen Kanals Numberphile über die eulersche Zahl.
• Wie du die Zinsen bei einer Hypothek berechnest