Quadratische Ergänzung
Mit der Methode der quadratischen Ergänzung können wir die quadratische Funktion ax2 + bx + c in der Form (x + m)2 + n darstellen.
Algorithmus der quadratischen Ergänzung
Der Algorithmus nutzt die erste binomische Formel für das Quadrieren einer Klammer:
Wir gehen folgendermaßen vor. Nehmen wir zunächst an, dass a = 1 ist. Stellen wir uns vor, wir haben die quadratische Funktion f(x) = x2 + 6x + 1 und wollen sie in die Form (x + m)2 + n bringen. Zuerst bestimmen wir die Werte in der ersten Klammer: (x + m)2. Welche Zahl müssen wir für m einsetzen? Nach der Formel muss die Gleichung (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 gelten. In der Funktion f haben wir x2, das passt. Aber an der Stelle des linearen Gliedes steht 6x. Welchen Wert müssen wir für m wählen, damit 6x = 2mx gilt? Offensichtlich muss m = b/2 = 6/2 = 3 gelten. Für die Zahl m setzen wir also immer die Hälfte des Wertes der Zahl b aus der quadratischen Funktion ein.
So haben wir die Form (x + 3)2 + n erhalten. Es bleibt noch, die Zahl n zu bestimmen. Wir wissen schon, dass (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 gilt. Der Teil x2 + 2mx ist erwünscht, aber der Term m2 ist zu viel, in der Funktion f gibt es dafür keine Entsprechung. Deshalb ziehen wir vom bisherigen Ergebnis m2 ab. So erhalten wir die Form (x + m)2 − m2, die nach dem Ausmultiplizieren gleich x2 + 2mx + m2 − m2 ist. Nach dem Subtrahieren haben wir also nur x2 + 2mx.
In der Funktion f haben wir aber noch das absolute Glied c. Das addieren wir einfach. So erhalten wir die Form (x + m)2 − m2 + c, nach dem Ausmultiplizieren x2 + 2mx + m2 − m2 + c und nach dem Vereinfachen x2 + 2mx + c. Da m = b/2 ist, ist dieser Term gleich x2 + bx + c, also erhalten wir nach dem Ausmultiplizieren des Terms (x + m)2 − m2 + c wieder die ursprüngliche Funktion, wir haben richtig gerechnet. (Ich wiederhole, dass a = 1 ist, es fehlt dort also nichts.)
Für die Beispielfunktion f erhalten wir so den Term in der Form eines Quadrats (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Wir können versuchen, ihn zur Probe wieder auszumultiplizieren:
Die Methode der quadratischen Ergänzung wird zum Beispiel verwendet, wenn du den Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen willst.
Wenn a ≠ 1
Wenn wir eine Funktion haben, für die nicht a = 1 gilt, gehen wir so vor, dass wir aus der ganzen Funktion die Zahl a ausklammern und dann so weiterrechnen, wie wir es schon können. Beispiel:
Aus der ganzen Funktion klammern wir die Zwei aus:
Die Funktion in der Klammer können wir bereits in ein Quadrat umformen.
Dieses Ergebnis setzen wir in die vorherige Gleichung ein und erhalten so:
