Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lassen, also in der Form eines Bruchs.

Definition

Rationale Zahlen sind also alle Zahlen, die sich in der Form

$\frac{a}{b} a, b \in Z, b \neq 0.$

schreiben lassen.

Die Bedingung, dass beide Zahlen ganze Zahlen sind, hat ihren offensichtlichen Sinn: Würdest du nämlich eine Zahl wählen, die nicht rational ist, zum Beispiel π, und daraus einen Bruch bilden:

$\frac{π}{1},$

würdest du wieder die Zahl π erhalten, die nicht rational ist. Deshalb müssen Nenner und Zähler ganze Zahlen sein. Und weil wir nicht durch null teilen dürfen, muss der Nenner ungleich null sein.

Wir können auch sagen, dass rationale Zahlen die Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung und die Zahlen mit unendlicher Dezimaldarstellung sind, in der sich ein Teil periodisch wiederholt. Hier also Beispiele für rationale Zahlen, zuerst in Bruchform:

$\frac{1}{3}, - \frac{5}{9}, \frac{13}{29}, \frac{4}{1}, \dots$

und weiter Zahlen in Form einer Dezimalzahl: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…= $0, \overset{―}{3}$

Periodische Schreibweise

Im vorigen Beispiel hatten wir die Zahl 0,3333… Das ist die Dezimaldarstellung des Bruchs 1/3 und eine Zahl mit unendlicher Dezimaldarstellung. Trotzdem ist sie rational, weil die Darstellung periodisch ist. Eine periodische Darstellung bedeutet, dass sich ab einer bestimmten Stelle der Zahl immer dieselbe Folge von Ziffern wiederholt. In unserem Fall wiederholte sich die Drei bis ins Unendliche. Es kann sich aber bis ins Unendliche zum Beispiel auch die Ziffernfolge 12345 wiederholen, und es ist immer noch eine Zahl mit Periode, eine rationale Zahl.

Jede Zahl mit endlicher Dezimaldarstellung ist also eine rationale Zahl. Jede Zahl mit unendlicher Dezimaldarstellung, in der sich ein Teil periodisch wiederholt, ist ebenfalls eine rationale Zahl. Eine Zahl mit unendlicher Dezimaldarstellung, in der sich kein Teil periodisch wiederholt, ist eine irrationale Zahl.

Die Periode wird entweder mit drei Punkten oder, häufiger, mit einem Strich über den Ziffern gekennzeichnet, die sich periodisch wiederholen. Periodisch kann sich eine einzelne Ziffer wiederholen, aber ruhig auch mehrere Ziffern. Die Periode kann gleich am Anfang der Nachkommastellen beginnen oder irgendwann später. Das sind alles periodische Zahlen:

$\begin{array}{rclcl} 7 / 3 & = & 2,333 33 \dots & = & 2, \overset{―}{3} \\ 16 / 11 & = & 1,454 545 \dots & = & 1, \overset{―}{45} \\ 11 / 6 & = & 1,833 333 \dots & = & 1, 8 \overset{―}{3} \end{array}$

Schreibweise und Bedeutung

Die rationalen Zahlen bezeichnen wir mit dem Buchstaben Q mit doppeltem Bogen: ℚ. Das kommt von „Quotient“, dem Ergebnis einer Division.

Rationale Zahlen werden verwendet, um einen Teil eines Ganzen anzugeben. Typisch sind zum Beispiel „die Hälfte“ oder „ein Zehntel“. Das sind Bezeichnungen für einen Teil eines Ganzen, der sich in den rationalen Zahlen als Quotient 1/2 und 1/10 ausdrücken lässt. In diesen Fällen bezeichnet der Nenner das Ganze und der Zähler den Teil vom Ganzen. Wenn der Zähler gleich dem Nenner ist, bedeutet das, dass wir ein ganzes Ganzes haben. Diese Anteile werden dann meist in Prozent umgerechnet.

Eigenschaften

Die rationalen Zahlen sind eine unendliche abzählbare Menge.

Die rationalen Zahlen sind abgeschlossen unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Das bedeutet: Wenn wir zwei rationale Zahlen dividieren, erhalten wir wieder eine rationale Zahl. Das ist der Unterschied zu den ganzen Zahlen, die unter der Division nicht abgeschlossen waren.
Die rationalen Zahlen enthalten alle ganzen Zahlen. Wenn alle rationalen Zahlen als Bruch a/b darstellbar sind, genügt es, b = 1 zu wählen, und nach der Division a/1 = a erhalten wir immer wieder den Wert des Zählers.
Wenn wir zwei rationale Zahlen a und b nehmen, für die a < b gilt, finden wir immer eine weitere rationale Zahl q, für die gilt: a < q < b. Anders gesagt: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen können wir immer eine weitere rationale Zahl finden. Es gilt sogar eine stärkere Version: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele weitere rationale Zahlen.
Eine Folge des vorigen Satzes ist, dass es keine kleinste positive (oder größte negative) rationale Zahl gibt. Dazu können wir einen Widerspruchsbeweis verwenden. Sei m die kleinste positive rationale Zahl. Dann dürften wir keine kleinere positive rationale Zahl finden können. Nach dem vorigen Satz gilt aber 0 < m, und somit existiert eine rationale Zahl s, für die 0 < s < m gilt. Wir haben eine Zahl s gefunden, die größer als null (also positiv) und kleiner als die Zahl m ist. Das ist ein Widerspruch dazu, dass m die kleinste positive rationale Zahl ist.

Operationen mit rationalen Zahlen

Alle üblichen und grundlegenden Operationen sind im Artikel Brüche beschrieben.

Umwandlung einer periodischen Zahl in einen Bruch

Weil eine periodische Zahl zugleich eine rationale Zahl ist, muss sie sich in einen Bruch umwandeln lassen. Wir zeigen das Vorgehen. Am Anfang haben wir die periodische Zahl a = 0,333… Wir schreiben

$a = 0, \overset{―}{3}$

Nun führen wir die üblichen Äquivalenzumformungen von Gleichungen durch und multiplizieren die ganze Gleichung mit zehn:

$10 a = 3, \overset{―}{3}$

Auf der rechten Seite ist die Drei an die Einerstelle gerückt, hinter dem Komma bleiben weiterhin unendlich viele Dreien. Nun ziehen wir von der Gleichung a ab, also ziehen wir 0,333… ab, wodurch wir die unendliche Dezimaldarstellung loswerden.

$9 a = 3$

Dieser Schritt war vielleicht etwas kompliziert, deshalb schreibe ich ihn aus. Wir haben diese Operation durchgeführt:

$\begin{array}{ccccccc} 3 & , & 3 & 3 & 3 & \dots \\ - & 0 & , & 3 & 3 & 3 & \dots \\ = & 3 & , & 0 & 0 & 0 & \dots \end{array}$

Die obere Gleichung 9a = 3 teilen wir nur noch durch neun und erhalten das Ergebnis:

$a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Probieren wir noch ein Beispiel:

$a = 1,454 545 \dots = 1, \overset{―}{45}$

Das Vorgehen unterscheidet sich leicht. Im vorigen Beispiel hatten wir eine Periode der Länge eins. Genauer gesagt, die Periode hätte beliebig lang sein können, weil sich immer dieselben Ziffern wiederholten, aber es passte uns, sie mit Länge eins zu nehmen. Jetzt haben wir eine Periode der Länge zwei. Wieder könnten wir eine Periode der Länge sechs nehmen, aber das passt uns nicht. Damit wir wirklich die ganze Periode abziehen, müssen wir diesmal mit hundert multiplizieren:

$100 a = 145, \overset{―}{45}$

Wir ziehen einmal a ab:

$99 a = 144$

Und teilen durch 99:

$a = \frac{144}{99} = \frac{16}{11}$

Wenn du mit dem Taschenrechner versuchst, diese Zahlen zu dividieren, kommt genau 1,454545… heraus. Die meisten Taschenrechner runden allerdings, deshalb kann dir ein etwas anderes Ergebnis angezeigt werden.

Eine Besonderheit bei 0,9999…

Nur zum Spaß versuchen wir noch, die periodische Zahl

$a = 0, \overset{―}{9}$

in einen Bruch umzuwandeln. Wir multiplizieren mit zehn:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Wir ziehen a ab:

$9 a = 9$

Wir teilen durch neun:

$a = 1$

Wir sehen, dass wir eins erhalten haben, es gilt also, dass die Zahl 0,999… gleich der Zahl 1 ist.