Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. In den reellen Zahlen können wir die meisten klassischen Operationen ausführen, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer der Division durch null). In den reellen Zahlen können wir auch Wurzeln ziehen, aber nur aus nichtnegativen Zahlen. Das ist eine Lücke, die zum Beispiel auftritt, wenn wir eine quadratische Gleichung lösen und die Diskriminante negativ ausfällt. Diese Lücke schließen die komplexen Zahlen.

Was ist eine komplexe Zahl

Von den gewöhnlichen Zahlen unterscheiden sich die komplexen vor allem dadurch, dass sie zwei Teile enthalten – einen reellen und einen imaginären. Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Zahlenpaar (x ∣ y), wobei die Zahl x der Realteil und die Zahl y der Imaginärteil ist. Ist der Realteil null, handelt es sich um eine rein imaginäre Zahl. Die Zahlen x und y selbst sind reell.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit dem großen Buchstaben C bezeichnet: ℂ.

Gleichheit komplexer Zahlen: Anders als gewöhnliche Zahlen bestehen komplexe Zahlen aus zwei Komponenten. Sollen zwei komplexe Zahlen gleich sein, müssen sie also in beiden Komponenten übereinstimmen. Diese komplexen Zahlen sind daher paarweise verschieden: (2 ∣ 3) ≠ (0 ∣ 3) ≠ (2 ∣ 0). Die komplexen Zahlen z₁ = (1 ∣ 2) und z₂ = (1 ∣ 2) sind gleich: z₁ = z₂.

Algebraische Form und imaginäre Einheit

Komplexe Zahlen werden häufiger in der algebraischen Form geschrieben, die so aussieht: Die komplexe Zahl (x ∣ y) hat die algebraische Form x + yi, wobei i die imaginäre Einheit genannt wird. Für das Quadrat der imaginären Einheit gilt eine sehr wichtige Beziehung:

$$i^2=-1$$

Diese Gleichung werden wir im Folgenden oft verwenden, zusammen mit weiteren Potenzen. Höhere Potenzen lassen sich nämlich auf die gewohnte Weise berechnen. Wenn wir zum Beispiel i³ vereinfachen wollen, können wir den Term nach den Regeln für das Rechnen mit Potenzen in i² · i zerlegen. Wir wissen schon, dass i² gleich minus eins ist. Das zweite i lässt sich nicht weiter zerlegen, also erhalten wir: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Ähnlich bei i⁴. Das können wir in i² · i² zerlegen, wobei i² = −1 ist, also erhalten wir: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Es gilt also i⁴ = 1. Diese Tatsache können wir nutzen, wenn wir noch höhere Potenzen der imaginären Einheit berechnen. Wenn wir zum Beispiel i⁷ berechnen, können wir es in i⁴ · i³ zerlegen. Wir wissen, dass i⁴ = 1 ist, also erhalten wir: 1 · i³. Und wir wissen, dass i³ = −i ist. Das Ergebnis lautet: 1 · (−i) = −i.

Addition und Multiplikation

Komplexe Zahlen können wir addieren und multiplizieren. Bei der Addition zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ addieren wir einfach getrennt die Realteile und die Imaginärteile:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Beispiel: z₁ = 3 + 7i und z₂ = 5 + 8i. Die Summe sieht so aus: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist schon etwas komplizierter, lässt sich aber als gewöhnliches Ausmultiplizieren von Klammern aufschreiben. Die allgemeine Formel sieht so aus:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Und wie sind wir darauf gekommen? Wir multiplizieren z₁ · z₂ so, als würden wir gewöhnliche Klammern ausmultiplizieren. Wir erhalten:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Weil i² = −1 ist, erhalten wir nach Umformung des letzten Glieds:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Und jetzt fassen wir nur noch die Glieder ohne imaginäre Einheit und die mit ihr zusammen:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Beispiel. Wir multiplizieren die Zahlen 5 + 6i und 4 + 7i. Wir erhalten:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Gegenzahl, Kehrwert und konjugiert komplexe Zahl

• Die Gegenzahl zur komplexen Zahl x + yi hat die Form −x − yi. Ähnlich wie bei den reellen Zahlen erhalten wir die Gegenzahl, indem wir die gegebene komplexe Zahl mit minus eins multiplizieren. Beispiel: Die Gegenzahl zu 2 + 7i ist −2 − 7i. Die Gegenzahl zu −5 + 8i ist 5 − 8i usw.

• Der Kehrwert der komplexen Zahl x + yi hat die Form $\frac{1}{x+yi}$. Der Kehrwert der Zahl 4 − 2i hat also die Form $\frac{1}{4-2i}$.

• Die konjugiert komplexe Zahl zur Zahl x + yi hat die Form x − yi. Sie wird üblicherweise mit einem Strich gekennzeichnet: $\bar{z}$, oder mit einem Stern z^∗. Eine solche Zahl ist die zur komplexen Zahl z konjugiert komplexe Zahl. Die zu 2 + 9i konjugiert komplexe Zahl ist 2 − 9i.

Subtraktion und Division

Wenn wir Gegenzahl und Kehrwert definiert haben, können wir auch die Operationen Subtraktion und Division definieren. Wollen wir zwei komplexe Zahlen subtrahieren, z₁ − z₂, addieren wir zur Zahl z₁ die Gegenzahl von z₂. In der Praxis erhalten wir eine einfache Formel:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Ähnlich führen wir die Division z₁ / z₂ auf eine Multiplikation zurück, indem wir z₁ · z₂′ berechnen, wobei z₂′ der Kehrwert der Zahl z₂ ist.

Betrag

Den Betrag der komplexen Zahl z berechnen wir mit der Formel:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(In der zweiten Wurzel ist das zweite z die zu z konjugiert komplexe Zahl.) Die Bedeutung dieser Formel ist in der geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen gut zu sehen.

Jede komplexe Zahl, deren Betrag gleich eins ist, heißt komplexe Einheit. Beispiele für komplexe Einheiten: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Eigenschaften des Betrags:

• Der Betrag einer komplexen Zahl ist eine reelle Zahl.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z^∗|, wobei z^∗ die konjugiert komplexe Zahl ist.